Wurzel in Bruch umschreiben: ⁷√(x^3) = x^{3/7}

Question

$$\begin{array} { l } { \sqrt [ 7 ] { x ^ { 3 } } = x ^ { \frac { 3 } { 7 } } } \\ { \left( x ^ { 3 } \right) ^ { \frac { 1 } { 7 } } = x ^ { \frac { 3 } { 7 } } } \end{array}$$

Ich habe zwei Fragen zu dieser Wurzel. Wie kommt man auf den Bruch? Und wie schreibt man den Bruch in eine Klammerschreibweise um?

Ich wollte das noch nicht so ganz nachvollziehen und wollte den Sinn dahinter verstehen, um die Aufgabe besser nachvollziehen zu können.

Answer 1

zu dem 2.

(x^3)^{1/7} = x^ (3*(1/7)) = x^{3/7}

Answer 2

das erklärt sich aus den Potenzrechenregeln

zum Beispiel darf man  √ 2 auch als 2^1/2 schreiben

oder   ^a √x³    auch als     x^2/3

bei (x³)^1/7     gilt , werden Potenzen potenziert werden sie miteinander multipliziert

x^{3* 1/7} = x^3/7

Answer 3

Das ist so definiert. Das kannst du eigentlich nicht gross beweisen.

Lies mal: https://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_(Mathematik)#Rationale_Exponenten

Unten wird ein Potenzgesetz benutzt.

(x^3)^{1/7}  = x^{3* 1/7} = x^{3/7}.

Herleitungen der Potenzgesetze gibt es z.B. hier: https://www.matheretter.de/wiki/potenzen#herleitung

Weiter unten dann noch eine Übersicht.