Stetigkeit auf Ganzen Definitionsbereich: g(x):=x^3 + 2ax^2 + a^2 wenn x≤1, und g(x):=ax^2 + 4a^2/(1+x^2) sonst.

Question

Hallo ich habe folgende Aufgabe,

Ich habe mir überlegt : links und rechtsseitiger Grenzwert zu betrachten und die gleichsetzen. Da stetigkeit dann gilt wenn die beiden gleich sind .

$$\lim _{ x\rightarrow 1 }{ { x }^{ 3 } } +2a{ x }^{ 2 }\quad +{ a }^{ 2\quad  }=\lim _{ x\rightarrow 1 }{ { ax }^{ 2 } } +\frac { 4{ a }^{ 2 } }{ 1+{ x }^{ 2 } } \quad $$

Das bringt mich dann auf das Ergebnis :

$$a=\quad \frac { -1\pm \sqrt { 3 }  }{ 2 } $$

könnte das so passen? Ich habe mir gedacht in der Stelle x=1 darf keine Sprung sein , der Rest ist stetig weil die 2 Fälle hier polynome sind .

Answer 1

Ansatz ist gut, allerdings hast du dich bei der Lösung verrechnet.

$$ a_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} $$

Die zweite Teilfunktion ist kein Polynom.

Gruß

Comments

Hallo und danke habe den fehler beim rechnen schon gefunden , war ein Abschreibfehler ^^

Wenn die 2 Grenzwerte nun gleich sind bedeutet das stetig nur in dem Punkt x=1 ?

Ist die ganze Funktion stetig dann wenn ja warum? , oder muss ich das noch zeigen?

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Ich denke ihr seid schon an dem Punkt angelangt, dass ihr wissen solltet, dass

1. Polynome auf ganz \(\mathbb{R} \) stetig sind, also ist \(f(x)\) schon mal stetig für \(x < 1\).

2. Die Summe zweier Stetiger Funktionen sowie die Division unter bestimmten Voraussetzungen ebenfalls stetig ist (diese liegen hier alle vor ) also \(f(x)\) auch stetig für \(x> 1\).

Ist \(a\) einer der beiden errechneten Werte, so liegt also auch Stetigkeit für \(x=1\) vor (das war ja die zentrale Aufgabe) und somit insgesamt stetig auf ganz \(\mathbb{R} \).

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Jetzt weiß ich es Dankeschön!  :)