Bestimme rechnerisch ein Intervall für p, so dass f(x)=x²-px+3p keine Nullstelle hat

Question

f(x)=x²-px+3p          x,p Element R

bestimmen Sie durch rechnung ein intervall für p so, dass die zugehörigen graphen keinen punkt mit der x-achse gemeinsam haben.

Ich hab da jetzt einfach für x=0 gesetzt und dann die funktion f(x)=3p bekommen. hab ich die frage richtig verstanden? T.T ich bin am verzweifeln... bitte helft mir!

Comments

" keinen Punkt mit der x-Achse haben ". Schnittpunkt mit der x-Achse bedeutet y = 0. ( Fehler bei dir )

 mfg Georg

Answer 1

Die quadratische Gleichung

x²-px+3p   = 0

darf keine Lösung haben.

Dazu muss der Term unter der Wurzel (Diskriminante: b^2 - 4ac bei der abc-Formel oder analoger Term bei der pq-Formel) kleiner als 0 sein.

Hier a=1, b=-p, q=3p

b^2 - 4ac = p^2 - 12p < 0

p^2 - 12p<0

p(p-12) <0

Genau einer der Faktoren muss neg. und der andere pos. sein.

p muss im Intervall ] 0, 12 [ liegen

Answer 2

" f(x)=x²-px+3p          x,p Element R
bestimmen Sie durch rechnung ein intervall für p so, dass die zugehörigen graphen keinen punkt mit der x-achse gemeinsam haben. "

Ich bestimme erst einmal den umgekehrten Fall bei dem die Funktion die x-Achse schneidet

f(x) = x^2 - p * x + 3 * p = 0

Mit Hilfe er quadratischen Ergänzung oder der pq-Formel heißt die Lösung

x = ±√ ( p*(p - 12)) + p/2

Wurzelziehen ist nur möglich wenn der  Wert in der Wurzel positiv oder null ist, also

p * ( p - 12 ) >= 0

Es gibt 2 Fälle

1.) p >= 0 und ( p-12 ) >= 0
p>=0 und p >= 12 ; Schnittmenge p >=12

2.) p <= 0 und ( p - 12 ) <= 0
p <=0 und p <= 12 ; Schnittmenge p <= 0

für ( p >= 12 ) und ( p <= 0 ) schneidet die Funktion die x-Achse.

Im Intervall p = ] 0 ; 12 [  schneidet die Funktion die x-Achse nicht.

mfg Georg

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