Der Indexshift zu Beginn ist absolut unnötig. Ziehe direkt zu Beginn (-1)^k aus der Potenz der zweite Reihe raus und erkenne, dass die zweite Reihe die alternierende Version der ersten ist. Bildet man die Differenz so heben sich die geraden Summanden auf,während die ungeraden Summanden sich zum Doppelten des jeweiligen Summanden aufaddieren.
Es ist vor allem erstaunlich dass alles im Detail gerechnet wird, aber genau dieses Argument ausgelassen wird. "K=2k damit k gerade" ist irgendwie auch nicht zufriedenstellend. Ab dieser Zeile müssten die Reihen wieder bei k=0 anfangen!