Lineare Abhängigkeit überprüfen?

Question

Ich verstehe die Frage nicht so ganz.  Eigentlich sind doch alle linear unabhängig oder?

Answer 1

a) LU

b) LU

c) LU

d) LA

e) LA

f) LU

g) LA

Comments

2 linear unabhängige Vektoren spannen eine Ebene auf.

3 linear unabhängige Vektoren spannen ein Raum auf.

Bilden 3 linear unabhängige Vektoren also nur eine Fläche müssen diese linear abhängig sein.

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Kannst du mir mal bei e) und f) die Gleichungen aufstellen, also wie die Abhängigkeit zustande kommt?

Ich komm irgendwie nicht drauf :/

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e) LA

DH = AE

AG + GE = AE

f) LU

Ich habe da linear unabhängig stehen. Dann kommt man auf keine Gleichung.

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Und bei der g)?

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AB = DC = EF

CE + EF + FD = CD

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Ich kann die beteiligten Vektoren so oft wie ich will verwenden?

Man rechnet doch immer: x1*(CE) + x2*(FD)+x3*(EF)=0

Das AB=DC=EF verstehe ich, aber CD ist doch der Gegenvektor. Das steht doch gar nicht dabei, das ich den verwenden darf. ?

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CD = -1 * DC

CD und DC sind also nur Gegenvektoren.

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Heißt man kann die "beteiligten" Vektoren beliebig umschreiben und die Gegenvektoren bilden?

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Na klar. Du kannst jeden Vektor in einen linear abhängigen umschreiben.

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Warum funktioniert das z.B.  bei a) nicht?

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Zwei Vektoren die linear abhängig sind sind parallel. Wenn nur 2 Vektoren gegeben sind ist es also trivial zu sehen ob die abhängig sind oder nicht. Schwierig wird es erst ab 3 Vektoren.

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Nochmal kurz zur g):

Da sind ja die Vektoren CD   FD  AB gegeben. Man soll schauen ob diese linear abhängig oder unabhängig sind.

Du hast ja den Vektor AB umgeschrieben zu AB=EF=DC   und DC=-CD

Das sind ja jetzt von der Bezeichnung her erst mal andere Vektoren wie der in der Aufgabenstellung gegebene AB.

Heißt das man darf die gegebenen Vektoren zu irgendwelchen umschreiben? Also z. B. AB=-0A+OH+HB ??

Geht das?

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AO und OH sehe ich doch gar nicht. Dann bringt das umschreiben auch nichts. Aber theoretisch darfst du das machen.

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Drei Vektoren sind linear abhängig wenn man jeden/mindestens einen der drei Vektoren als Linearkombination der anderen beiden darstellen kann.

Muss es jeden oder mindestens einen heißen?

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Es muss mindestens heißen

Nimm mal die drei Vektoren: Nullvektor, AB und AC

Jetzt kannst du nur den Nullvektor als linearkombination der anderen Darstellen aber AC nicht als Linearkombination der anderen beiden.

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Eine Frage noch.

Man sagt 3 Vektoren sind linear abhängig wenn sie in einer Ebene liegen. Was bedeutet das mit der Ebene?

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Eine Ebene hat nur zwei Dimensionen. Also ein Blatt Papier, dass nach allen Seiten unendlich groß ist ist eine Ebene.

Das normale Koordinatensystem mit x und y-Achse bildet eine Ebene. Alle Punkte befinden sich in dieser Ebene. Davor und dahinter gibt es keine Punkte.

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Achso und weil durch die lineare Abhängigkeit eine geschlossene Vektorkette erzeugt wird, bezeichnet man dies als Ebene?

Sind die Vektoren linear unabhängig , dann würde man also einen Raum erzeugen?

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n linear unabhängige Vektoren spannen eine n-Dimensionalen Raum auf :)

Also wenn drei Vektoren linear unabhängig sind dann bilden sie den R3. 

4 dreidimansionale Vektoren müssen also linear abhängig sein.

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Achso und weil durch die lineare Abhängigkeit eine geschlossene Vektorkette erzeugt wird, bezeichnet man dies als Ebene?

War da mein Gedanke richtig? ;)

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Das muss nur im dreidimensionalen eine Ebene sein.

Drei Vektoren die linear abhängig sind müssen auch keine Ebene aufspannen. Sie können auch nur eine Gerade aufspannen.

Aber das würde man eh sofort ohne nachzudenken sehen.

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Ja. Wir haben uns im Unterricht aufgeschrieben:

3 linear abhängige, vom Nullvektor verschiedene Vektoren, verlaufen parallel zu einer Ebene.

Bei der d) und bei der f) trifft das zu, aber bei der e) irgendwie nicht. Laut der Definition müsste die dann ja linear unabhängig sein. Wieso sind sie trotzdem linear abhängig?

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Bei e) Verlaufen die Vektoren parallel zur Ebene die durch ACG gebildet wird.

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Aber DH und  EG sind doch nicht parallel zu AG. Du meinst doch mit ACG als Ebene den Vektor AG oder? Denn eine ebene muss doch immer zweidimensional sein oder?

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Mit ACG meine ich die Ebene die durch diese drei Punkte definiert ist.

Eine Ebene ist eindeutig durch 3 Punkte im Raum definiert, die in dieser Ebene liegen. Zumindest wenn diese Drei Punkte ein Dreieck bilden und nicht auf einer Geraden liegen.

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Ja aber DH ist doch nicht parallel zu ACG also der Ebene. Wie erklärt sich das?

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DH ist parallel zu CG und daher natürlich auch parallel zu einer Ebene durch ACG.

Hm. Du hast da echt arge Probleme mit oder sowas zu erkennen im Raum ?

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Wahrscheinlich. Aber ich weiß nicht so genau wie ich mir die ebene vorstellen kann. Kannst du vll. Mal so eine grafik erstellen wo die ebene eingezeichnet ist und die vektoren?

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Eine ebene hat doch eine x und eine y Achse. Wäre die x achse hier der vektor AC und die y achse der vektor CG?

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Eine Ebene muß nicht parallel zu einer Achse liegen. Nimm mal die Punkte ACGE in deiner Figur. Das ist ein planes Rechteck. Alle Punkte liegen dort in einer Ebene. Denk dir also die Rechtecksfläche in alle Richtungen unendlich weit verlängert vor. Dann hast du eine Ebene.

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Kannst du mir bitte mal die ebene ACG einzeichnen?Ich weiß nicht genau wie die ebene aussehen soll.

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Zeichne das Viereck ACGE in die Skizze ein und schraffiere sie. Das ist dann ein Ausschnitt der Ebene.

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Und was ist die ebene ACG? Wie sieht die aus und wie groß ist die?

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Eine Ebene ist immer unendlich groß. Du kannst dir also immer nur Ausschnitte vorstellen. Genauso wie geraden unendlich lang sind. Um sie zu zeichnen zeichnen wir immer nur Ausschnitte einer Geraden.

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Aber eine ebene durch die punkte ACG ist doch fest definiert, also so ein dreieck innerhalb des spats oben. Sehe ich das falsch?

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Die Ebene durch ACG ist fest definiert. Das Dreieck ist ein Ausschnitt der Ebene.

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Ja nach hinten hin geht sie unendlich weiter. Aber ich kapier einfach nicht wieso DH parallel zu dieser ebene ist. Der vektor zeigt doch in eine ganz andere Richtung

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Lies dir das oben nochmals genau durch. 

Zeichne das Viereck ACGE ein.

Wenn du nicht siehst das DH parallel ist, dann geb ich es auf.

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Nach 33 Kommentaren kann man schon mal resignieren :)

Aber ich glaube, nachdem ich gerade die Ebene eingezeichnet habe, dass ich es  verstanden habe.

Was wäre die Ebene bei der g)?

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Das ist die Ebene DCFE

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Und bei der d)?

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Probier es mal selber. Nimm zwei Vektoren und schau welche Ebene die bilden. Wie gesagt darfst du vektoren auch umschreiben wenn es dir hilft.

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Ist es EFGH?

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Genau. Ist doch eigentlich nicht so schwer oder?

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Eigentlich nicht. Ich konnte jetzt auch im Nachhinein ohne Probleme die Ebene bei e) und f) erkennen.

Aber das Problem kenne ich. Das ich am Anfang bei jedem Thema  große Schwierigkeiten habe.

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Eine kurze Frage noch zu 2 Vektoren.

Sind diese linear unabhängig spannen sie eine Ebene auf. Sind sie linear abhängig befinden sie sich auf einer Ebene.

Stimmt das?

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Sind diese linear unabhängig spannen sie eine Ebene auf. Sind sie linear abhängig befinden sie sich auf einer Ebene.

Wenn sie linear Abhängig sind dann sind sie parallel zu einer Geraden.

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Prima, danke!

Leider kann ich dir für deine Geduld nur einen Stern geben.

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Das wichtigste ist das du es jetzt verstanden hast. Ich bereite eh gerade nebenher Abivorbereitungsmaterial für meine Schüler vor.

Bei uns ist das Abi dieses Jahr Ende April. Und bis dahin ist noch etwas zu tun.

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Ja. Wir  an der FOS schreiben erst Anfang Juni. Da gibt's auch noch viel zu tun für mich. Aber bezüglich Mathe weiß ich ja wo ich nachfragen muss.