Diagonalisierbarkeit von Matrizen: Bestimme T^{-1}* B^k *T

Question

Ich habe die Eigenräume von der Matrix B bestimmt und die Matrix T aufgestellt, die B diagonalisiert. (T^{-1}*B*T ist eine Diagonalmatrix in der in der Diagonalen die Eigenwerte von B stehen)

Jetzt ist allgemein gefragt was T^{-1}* B^k *T für k>=1 ist. Gibt es dabei einen Trick wie man es geschickt umformen kann? Wenn sich B von T diagonalisieren lässt, lässt sich dann auch B^k von T diagonalisieren?

Answer 1

wenn a ein Eigenwert von B ist, dann ist a^2 ein Eigenwert von B^2 denn

wenn   B*x= a*x   dann ist B^2 * x = B * ( B* x) = B * (a*x) = a* (B *x ) = a^2 * x

und die Eigenvektoren sind die gleichen.

Also stehen bei  T^-1* B^k *T  die Potenzen der Eigenwerte in der Diagonalen.

Comments

Vielen Dank,

Aber eins habe ich noch nicht verstanden. Warum ändern sich die Eingenräume von B durch das Potenzieren nicht? Also warum kann man wieder die gleiche Mateix T zum Diagonalisieren nehmen?

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weil sich an den Eigenvektoren nichts ändert.

siehe meine Rechnung:

das x ist sowohl Eigenvektor von B zum EW a

also auch Eigenvektor von B^2  zum EW a^2  .