Vektorraum, lineare Abbildung, Kern & Bild davon

Question

:)

Ich muss die folgende Aufgabe lösen :

Es seien K ein Körper, V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und Φ∶ V → V eine lineare Abbildung. 

Ich muss zeigen, dass es ein q ∈ N gibt, so dass Bild(Φ^q ) = Bild(Φ^q+r) für alle r ∈ N_o . 

Dann sei q ∈ N wie in Teilaufgabe (a)  und U = Kern(Φ^q) und W= Bild(Φ^q ). Zu beweisen ist, dass V = U ⊕ W, Φ(U ) ⊆ U und Φ(W ) = W. 

Dann muss ich zeigen, dass es eine Basis {b₁ , … , b_s} von U gibt, so dass Φ(b_i ) ∈ <b_i , … , b_i-1> für alle i ∈ {1, … , s}

Ich hab schon versucht an die auf unvollständigen unverständlichen Weisen anzugehen, komme aber gar nicht weit :/ 

ich wäre sehr sehr dankbar für euere Hilfe

Answer 1

Du kennst sicher den Dimensionssatz  dim Kern f + dim Bild f = dim V

und außerdem den Satz: Wenn ein Unterraum U von V die gleiche dim hat wie V,

dann ist er gleich V.

Wenn nun deine Abbildung f von V nach V mit dim V = n  ( ich nehme mal f statt Phi)

den Rang n hat, ist q=1 und du bist fertig, denn dann ist Bild(f) = V

also auch Bild(f^2) = V etc.  also Bild(f) = Bild(f^2) = Bild(f^3 ) etc

ist rang(f) < n, und du betrachtest f^2 (V) = f ( f(V)) dann wird f für den 2. Schritt

ja auf Bild(f) eingeschränkt und nach dem Dim-Satz ist dann wieder

dim(Bild(f^2))  ≤ dim ( Bild(f))

wenn hier = gilt ist die Sache Erledigt mit q=2 ansonsten

muss f^3 betrachtet werden.   Das geht so weiter, aber höchstens n - mal, denn dann

die Dimension nicht mehr kleiner werden.

Comments

aaaaaa ich verstehe jetzt wie das geht! Vielen vielen Dank! 


ich hätte noch ein paar Fragen :

wenn Rang(f) = n, dann darf q irgendeine Zahl aus N sein, oder? Also auch wenn q = 3 und nicht 1, dann ist Bild f³ = Bild f³⁺¹  = Bild f³⁺²  und etc, oder??

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Klar, es hieß doch:  Es gibt ein q. Dann muss es ja nur mindestens eins

geben, mit allen größeren klappt es dann auch, aber das istja egal.

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ich glaube ich hab dieses Teil der Aufgabe jetzt sehr sehr gut verstanden. Vielen vielen Dank! 

Wenn es nicht zu viel Mühe ist, wäre ich sehr dankbar wenn du mir bei den anderen Teilen helfen könntest, bzw. erklären wie beim ersten Teil :)

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Das könnte gehn in Anlehnung an :

https://www.mathelounge.de/70394/la-3-bild-kern-%CF%81-v-heisst-projektion-wenn-%CF%81-%CF%81-%CF%81-beh-v-bild-%CF%81-%E2%8A%95-kern-%CF%81

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"ist rang(f) < n, und du betrachtest f² (V) = f ( f(V)) dann wird f für den 2. Schritt

ja auf Bild(f) eingeschränkt."

Das verstehe ich nicht ganz gut. Wird dann die Dimension von Bild(f) noch kleiner? Denn nehmen wir an, dass dim(V) = 3 und dass rang(f) = 2. Dann nehmen wir f² also f(Bild(f)). Dann ist rang(f²) <= 2. Und wenn es gleich 2 ist ( weiss ich nicht warum) dann gilt, dass dim BIld(f²) = dim Bild(f) = 2 und daraus folgt, dass Bild(f²) = Bild(f)? 

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vielen Dank, mathef :))) 

Ich konnte schliesslich ein bisschen weiterkommen :)