Antwort mit KI erzeugt
Rationale Funktion entwickeln
Um die gegebene rationale Funktion \(h(z) = \frac{z + 1}{(z + 2)(z + 4)}\) in eine Potenzreihe um den Mittelpunkt \(0\) zu entwickeln, nutzen wir die Partialbruchzerlegung, um \(h(z)\) in einfachere Terme zu zerlegen, die dann leicht in eine Reihe entwickelt werden können.
Die Funktion \(h(z)\) kann in zwei Partialbrüche zerlegt werden:
\(
h(z) = \frac{A}{z+2} + \frac{B}{z+4}
\)
Um \(A\) und \(B\) zu bestimmen, lösen wir die Gleichung:
\(
\frac{z + 1}{(z + 2)(z + 4)} = \frac{A}{z+2} + \frac{B}{z+4}
\)
Durch Anpassen der Nenner erhalten wir:
\(
z + 1 = A(z + 4) + B(z + 2)
\)
Setzt man verschiedene Werte für \(z\) ein, um \(A\) und \(B\) zu bestimmen. Zum Beispiel, für \(z = -2\) und \(z = -4\):
- Für \(z = -2\):
\(
-1 = A(-2 + 4) + B(-2 + 2) \implies -1 = 2A \implies A = -\frac{1}{2}
\)
- Für \(z = -4\):
\(
-3 = A(-4 + 4) + B(-4 + 2) \implies -3 = -2B \implies B = \frac{3}{2}
\)
Also ist:
\(
h(z) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{z+2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{z+4}
\)
Nun entwickeln wir jeden Bruch in eine Potenzreihe um den Punkt \(0\) (für \(|z|<2\) bzw. \(|z|<4\)):<br />
\(
-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{z+2} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1+\frac{z}{2}} = -\frac{1}{4} \cdot \sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n \left(\frac{z}{2}\right)^n}
\)
\(
\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{z+4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1+\frac{z}{4}} = \frac{3}{8} \cdot \sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n \left(\frac{z}{4}\right)^n}
\)
Zusammen:
\(
h(z) = -\frac{1}{4} \sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n \left(\frac{z}{2}\right)^n} + \frac{3}{8} \sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n \left(\frac{z}{4}\right)^n}
\)
Konvergenzradius bestimmen
Der Konvergenzradius \(\rho\) der Potenzreihe kann durch die Singuläritäten der ursprünglichen Funktion bestimmt werden, welche für \(z = -2\) und \(z = -4\) liegen. Der Konvergenzradius ist der Abstand vom Mittelpunkt der Reihe (in diesem Fall \(0\)) zur nächsten Singularität:
\(
\rho = \min(|-2|,|-4|) = 2
\)
Somit beträgt der Konvergenzradius der Potenzreihe der Funktion \(h(z)\) \(2\).
