Dichte und die Verteilungsfunktion von Y = e^x

Question

Aufgabe:

(1) Die Zufallsvariable \( X \) ist exponentialverteilt mit Parameter \( \lambda \). Berechnen Sie die Dichte und die Verteilungsfunktion von \( Y=e^{X} \).

(2) Wir bezeichnen mit \( X \) die Lebensdauer einer Batterie in Stunden und nehmen an, dass \( X \) exponentialverteilt mit Parameter 2 ist. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Batterie mehr als sechs Stunden funktioniert.

Ansatz:

(1) Dichte könnte e^x sein, nur unter Verteilfunktion kann ich mir nichts vorstellen.

Comments

Oh nein:

Dichtefunktion:

f(x)=  lambda*e^lambda*x  für x>=0; 0 für x<0

Verteilfunktion:

F(x)=1*e^lambda*x  für x>=0; 0 für x<0

---

1*e^lambda*x/x  für x>=0; 0 für x<0

das x hat noch gefehlt

---

nein doch F(x)=1*e^lambda*x  für x>=0; 0 für x<0
x wird ja zu 1 abgeleitet

---

F(x)=1-e^-0.5x

P(x>6)=e^-33=4,97%

Answer 1

$$  f(y) = \begin{cases} \lambda y^{-\lambda}, &\text{ falls } y \geq 1 \\ \quad 0, &\text{ sonst } \quad \end{cases} $$

$$ F(y) = \begin{cases} 1- y^{-\lambda}, &\text{ falls } y \geq 1 \\ \quad 0, &\text{ sonst } \quad \end{cases} $$

Comments

e^x fällt also raus. Das hätte ich nicht erwartet