Berechnen Sie die Determinante von A, indem Sie zunächst die Determinante der Matrix A · A^{T} bestimmen

Question

Berechnen Sie die Determinante von

\( A=\left(\begin{array}{cccc} a & b & c & d \\ -b & a & d & -c \\ -c & -d & a & b \\ -d & c & -b & a \end{array}\right) \)

indem Sie zunächst die Determinante der Matrix \( A \cdot A^{T} \) bestimmen und danach die Rechenregeln fiur Determinanten verwenden.

Answer 1

A * A^T = [a, b, c, d; -b, a, d, -c; -c, -d, a, b; -d, c, -b, a]·[a, -b, -c, -d; b, a, -d, c; c, d, a, -b; d, -c, b, a]

A * A^T = [a^2 + b^2 + c^2 + d^2, 0, 0, 0; 0, a^2 + b^2 + c^2 + d^2, 0, 0; 0, 0, a^2 + b^2 + c^2 + d^2, 0; 0, 0, 0, a^2 + b^2 + c^2 + d^2]

DET(A * A^T) = (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^4

DET(A * A^T) = DET(A) * DET(A^T) mit DET(A) = DET(A^T)

DET(A * A^T) = DET(A) * DET(A) = DET(A)^2

DET(A) = DET(A * A^T) = √((a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^4) = (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^2

Wie kommst du denn auf deine Determinante? Wie hast du da gerechnet?

Comments

Beim wurzel ziehen kommt doch +- raus oder nicht?

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Ein Minus wäre theoretisch auch denkbar. Aber das Quadrat muss am Ende in jedem Fall dort stehen.

Also

DET(A) = ± (a² + b² + c² + d²)²

Warum jetzt das Minus nicht sein kann, kannst du eventuell leicht sehen wenn du für a = 1 und b = c = d = 0 wählst.

Bleibt letztendlich nur das Plus als Lösung übrig.

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Die determinante muss ja eindeutig laut fragestellung.

Also kann minus gar nicht sein?

Kann man a b c d nicht anders wählen?

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Du kannst auch b = 1 und alle anderen gleich Null wählen. Mir erscheint es aber einfacher zu sehen wenn a = 1 ist, weil die Hauptdiagonale nur aus a's besteht und sonst keine a's vorhanden sind.

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Also kann das vorzeichen nicht negativ sein ;)

Danke ;)