Laplace-Operator und harmonische Funktionen, zweimal reell differenzierbar

Question

Aufgabe:

Sei \( f:\mathbb{C}\to\mathbb{C} \) zweimal stetig reell differenzierbar. Zeigen Sie, dass dann für den Laplace-Operator \( \Delta=\partial_x^2+\partial_y^2 \) gilt:

$$\Delta f=4\partial_z\partial_{\overline{z}}f=4\partial_{\overline{z}}\partial_{z}f$$

Zu erst einmal hätte ich eine Frage zur Notation des Laplace-Operators.

Um den Laplace-Operator zu berechnen differenziere ich eine Funktion zwei mal nach x und y.

Wenn ich eine Funktion

f=u+iv habe und eine komplexe Zahl z=x+iy, wie gehe ich hier dann vor. Irgendwie gelingt es mir nicht, dabei bin ich mir sicher, dass es eigentlich ganz einfach sein muss...

Was muss ich denn nun differenzieren. Irgendwie verwirrt mich das.

Answer 1

schau mal hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Wirtinger-Kalk%C3%BCl

Gruß

Comments

danke für deine Antwort.

Ich habe mir den Wikipedia-Artikel größten Teils durchgelesen.

Leider weiß ich noch nicht genau wie nun die Vorgehensweise ist.

Ist es die Rechnung unter "Motiviation und Definition" und wie genau zeigt man dann die Gleichung?

Indem man danach "stumpf" zwei mal differenziert und eben die Gleichung des Laplace-Operators anwendet?

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Wenn du die Schritte unter Motivation und Definition nachvollziehen kannst, dann ja ist es nur "stumpfes differenzieren", wobei man die Voraussetzung beachten muss und vor allem benutzen muss. (Satz von Schwartz gilt hier).

Nur damit du mal den Anfang hast (ich lasse \(f\) weg, weil ich faul bin):

\( 4 \partial_{\bar{z}} \partial_{z}=4 \cdot \frac{1}{2}\left(\partial_{x}+i \partial_{y}\right) \frac{1}{2}\left(\partial_{x}-i \partial_{y}\right) \)