Aus diesen Aufgaben lernst du nichts. Das geht zum linken Ohr rein und zum rechten wieder raus. Wenn da wirklich was haften bleiben soll, dann musst du " Streber " sein. Du nimmst dir den Kowalsky oder Greub ( jeweils Band 2 ) und ziehst dir das ===> Eigenwertproblem rein. Also ohne geht schon mal gar nicht. Und dann eine tootaal schwere Knochenarbeit; die ===> Elementarteiler ( ET ) ( ET bauen auf Eigenwerten auf; erst wenn du ET gelernt hast, begreifst du, was es mit der Nilpotenz auf sich hat. ) ( Mag sein, dass dir Wiki einen ersten Plan gibt, was das Ganze überhaupt soll - es wäre dir zu wünschen. )
Schauen wir uns doch die iii) mal etwas näher an. Als altem ET Hasen fällt mir sofort auf, dass in der Diagonale der Matrix A überall eine Eins steht; die Einheitsmatrix.
B := A - 1| ( 1 )
Und zwar ist B nilpotent von zweitem Grade ( quadratischer ET ) Schreib mal B aus:
0 2 3
B = 0 0 2 ( 2 )
0 0 0
Wie du ( hoffentlich ) weißt - das ist jetzt Grundwissen - sind die Spalten einer Matrix die Bilder der Basisvektoren. Was man euch wahrscheinlich noch nicht gesagt hat:
" Der Kern einer Matrix ist ihr EIGENRAUM zum EIGENWERT NULL. "
Daraus folgt aber:
" Eine Matrix ist invertierbar <===> Keiner ihrer eigenwerte verschwindet. "
Ich fürchte du musst deine kleinen grauen zellen radikal umstrukturieren ...
Also nach einmaliger Anwendung von B geht die erste Spalte schon mal den Bach runter; Basisvektor Nr. 1 liegt im Kern von B . Und Spaltenvektor 2 mischt nur mit der ersten Komponente; dann wird hier wohl spätestens nach B ² Schluss sein. In Spalte 3 passiert etwas Analoges; die mischt nämlich nur mit einem Unterraum, der nach zweimaliger Anwendung B ² futsch ist. Damit lautet aber das ===> Minimalpolynom von B : x ² = 0 bzw. B ² = 0 .
In der ET-Teorie kriegst du gesagt: Die Wurzeln des Minimalpolynoms einer matrix sind genau ihre Eigenwerte; hier siehst du das ganz deutlich. Du hast nur einen ===> Komponentenraum zum Eigenwert Null.
Ja und wenn ich ( 1 ) beachte, dann muss doch das Minimalpolynom von A lauten ( A - 1| ) ² = 0 bzw. ( x - 1 ) ² = 0 . D.h. unser A hat ausschließlich Eigenwert Eins und IST DAMIT INVERTIERBAR . Dies ist die Logik, die du dir einprägen musst.
( A - 1| ) ² = 0 ( 3a )
A ² - 2 A + 1| = 0 | * A ^ -1 ( 3b )
( 3b ) entsteht aus der 2. binomischen Formel. ( Im vorfeld von ET wird übrigens bewiesen: Jede Matrix vertauscht mit ihren sämtlichen Polynomen; sonst wäre der Begriff des Matrizenpolynoms ja Sinn los. ) Den Umformungsschritt in ( 3b ) habe ich wie üblich vermerkt.
A - 2 * 1| + A ^ -1 = 0 ( 3c )
A ^ -1 = 2 * 1 - A ( 3d )
Das hat übrigens eine eminent praktische Bedeutung; schau dir mal an, wir ===> Translationsmatrizen in der vierdimensionalen projektiven Geometrie definiert sind. Die haben übrigens auch einen quadratischen ET = 1 ; also ein Minimalpolynom 2. Ordnung.
