Beweis: Die kommutativität bzgl. der Komposition von Abbildungen gilt nicht:

Question

ich habe mir das Buch "Grundwissen Mathematikstudium - Querverbindungen Analysis und Lineare Algebra" von Tilo Arens und Rolf Busam gekauft. Ich bin kurz davor Kapitel 2 zu beenden. Im Buch wurde eben gesagt, dass die Komposition von Abbildungen (bzgl. Multiplikation) nicht kommutativ ist, also gilt f • g ≠ g • f. Da kein Beweis gezeigt wurde, habe ich mir gedacht versuche ich es einmal. Bitte nicht zu streng sein, ich habe bisher nur wenig bewiesen und bin komplett neu in der richtigen Mathematik angelangt.

Mein Beweis:

Voraussetzung: Seien f und g zwei Abbildungen, für die gilt, f ≠ g

Behauptung: g • f ≠ f • g bzgl der Komposition von Abbildngen (Multiplikation)

Beweis (per Widerspruch):
Angenommen es gilt die Kommutativität für die Komposition von Abbildungen, dann gilt g • f = f • g. Seien nun A, B und C Mengen, für die gilt A = B = C.
Weiterhin seien f: A ---> B und g: B ---> C zwei Abbildungen. Sei nun x ∈ ℝ fest aber beliebig, dann folgt aufgrund der Voraussetzung f(x) ≠ g(x).
Aus der Annahme folgt nun g • f(x) = g(f(x) = f(g(x)) = f • g(x). Dies ist ein Widerspruch aufgrund der Voraussetzung, also gilt g • f(x) = g(f(x) ≠ f(g(x)) = f • g(x).
Somit ist unsere Annahme falsch => g • f ≠ f • g bzgl der Komposition von Abbildngen (Multiplikation).

Comments

Kannst du eventuell bitte meinen Beweis überprüfen wenn du online bist Yakyu?

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Hey hab es zufällig entdeckt. Du versuchst ja im Grunde in deinem Beweis auch ein Gegenbeispiel zu konstruieren (im Vergleich zu Wolfgang machst du es dir aber selber schwer in dem du versuchst es allgemein aufzuziehen). Dein Konstrukt funktioniert aber leider gar nicht.

 Sei nun x ∈ ℝ fest aber beliebig, dann folgt aufgrund der Voraussetzung f(x) ≠ g(x). 

1. Nein, dafür hättest du in der Voraussetzung schreiben sollen: \(\forall x \in A: f(x) \neq g(x) \). Nur \(f(x) \neq g(x)\) bedeutet ja nur, dass es nicht die gleiche Funktion ist (sie können sich aber trotzdem irgendwo überschneiden)

Dies ist ein Widerspruch aufgrund der Voraussetzung, also gilt g • f(x) = g(f(x) ≠ f(g(x)) = f • g(x). 

2. Ingesamt fällt aber das ganze Konstrukt an dieser Stelle in sich zusammen. Dies gilt nämlich nicht nach Voraussetzung! Auch nicht nach der Veränderung.

Hier mal ein einfaches Beispiel, dass allen Behauptungen aus deinem Beweis genügt:

$$ f,g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = x+2, \quad g(x) = x+1 $$

Es gilt zwar für alle \(x \in \mathbb{R}: f(x) \neq g(x) \) aber in diesem Fall ist \( f \circ g(x) = g \circ f(x) = x+3\). Also kein Widerspruch.

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Hi Yakyu :-) Vielen Dank für die Antwort ich sehe jetzt meine Fehler :-) Da ist mein Beweis wohl fatal gescheitert..

Answer 1

am einfachsten zeigst du das durch eine Gegenbeispiel:

f: ℝ → ℝ ,  x ↦  x²   ,   g: ℝ → ℝ , x ↦ 2x+3

f o g (x) = (2x+3)²

g o f (x) = 2x² + 3 

Gruß Wolfgang

Comments

Vielen Dank für die Antwort Wolfgang :-)

Im Buch wurde dies auch durch ein Beispiel gezeigt. Ich habe mich nur gefragt, was ist wenn gilt: f: ℝ → ℝ ,  x ↦  x   ,   g: ℝ → ℝ , x ↦ x. In diesem Fall wäre f • g = f • g(x) = f(g(x)) = f(x) = x. Weiterhin wäre auch g • f = g • f(x) = g(f(x)) = g(x) = x. Für diesen Fall wäre die Kommutativität gezeigt. Daher kam ich auf die Idee, dies durch einen Beweis zu zeigen.