Basis des Q-Vektorraums Q^2

Question

Es ist eine Basis gesucht, für welche die Matrix der Bilinearform

b: Q^2xQ^2 --->Q, (x,y) --> (x^T)Ay mit A= ((1,2),(2,0)) gleich ((3,0)(0,5)) ist.

ich habe zwei Vektoren rausbekommen (1,2/5)^T und (0,1)^T, nur weiß ich jetzt leider nicht ob das meine Basis ist.

Danke schon mal im Voraus an alle.

Answer 1

Hallo,

eine solche Basis kann es nicht geben; denn bei einem Basiswechsel
multipliziert sich die Determinante der Gram-Matrix mit einem Quadrat \(\in (\mathbb{Q}^*)^2\).
Die Determinanten sind hier aber \(-4\) und \(15\), haben also verschiedene Vorzeichen.

Gruß ermanus