Antwort mit KI erzeugt
Matrix einer Abbildung bezüglich einer Basis
Um die Matrix der gegebenen Bilinearform \(<,>: \mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R},\left(v, v^{\prime}\right) \mapsto v^{T}\left(\begin{array}{ll}1 & 2 0 & 1\end{array}\right) v^{\prime} \) bezüglich der Basis
\(\left(\begin{array}{l}1 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}2 1\end{array}\right) \) zu finden, benötigen wir folgende Schritte:
1. Wir definieren zunächst die Basisvektoren:
\(b_1 = \left(\begin{array}{l}1 2\end{array}\right)\) und \(b_2 = \left(\begin{array}{l}2 1\end{array}\right)\).
2. Danach berechnen wir die Bilder dieser Basisvektoren unter der gegebenen Abbildung, indem wir jedes Paar von Basisvektoren einmal als \(v\) und einmal als \(v^{\prime}\) verwenden. Die Matrix \(A = \left(\begin{array}{ll}1 & 2 0 & 1\end{array}\right)\) definiert die lineare Abbildung.
3. Die Einträge der Matrix \(B\) der Abbildung bezüglich der Basis \(\{b_1, b_2\}\) finden wir durch \(b_i^T A b_j\), für \(i, j = 1, 2\).
Berechnungen:
- Für \(B_{11}\) (erste Zeile, erste Spalte):
\(B_{11} = b_1^T A b_1 = \left(\begin{array}{ll}1 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}1 & 2 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}1 2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ll}1 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}5 2\end{array}\right) = 1\cdot5 + 2\cdot2 = 9\)
- Für \(B_{12}\) (erste Zeile, zweite Spalte):
\(B_{12} = b_1^T A b_2 = \left(\begin{array}{ll}1 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}1 & 2 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}2 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ll}1 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}4 1\end{array}\right) = 1\cdot4 + 2\cdot1 = 6\)
- Für \(B_{21}\) (zweite Zeile, erste Spalte):
\(B_{21} = b_2^T A b_1 = \left(\begin{array}{ll}2 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}1 & 2 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}1 2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ll}2 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}5 2\end{array}\right) = 2\cdot5 + 1\cdot2 = 12\)
Die Berechnung für \(B_{21}\) wurde offensichtlich falsch angegeben, da \(B_{21}\) tatsächlich \(12\) und nicht \(129\) ist. Da wir jedoch nur ein Ergebnis für \(B_{11}, B_{12}\), und \(B_{21}\) erhalten haben und für eine vollständige 2x2 Matrix vier Einträge benötigen, fehlt uns noch \(B_{22}\). Die korrekte Berechnung von \(B_{22}\) ist wie folgt:
- Für \(B_{22}\) (zweite Zeile, zweite Spalte):
\(B_{22} = b_2^T A b_2 = \left(\begin{array}{ll}2 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}1 & 2 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}2 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ll}2 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}4 1\end{array}\right) = 2\cdot4 + 1\cdot1 = 9\)
Also ist die korrekte Matrix \(B\) der Abbildung bezüglich der gegebenen Basis:
\(B = \left(\begin{array}{cc}9 & 6 12 & 9\end{array}\right)\)
Dies berichtigt den ursprünglichen Fehler in der Annahme für \(B_{21}\) und komplettiert die Matrix mit dem richtigen Wert für \(B_{22}\).
