Antwort mit KI erzeugt
Beweis der Ungleichungen für eine stetig differenzierbare Funktion \(f\):
Zu i) Max | f(x) | ≤ ∫ |f'(x)| dx:
Dein Ansatz für den ersten Teil, also \(M = \max |f(x)|\) für \(x \in [a,b]\) impliziert \(M \leq \int_a^b |f'(x)| \,dx\), ist nicht ganz korrekt formuliert, und der Schluss auf \(M \leq |f(b)-f(a)|\) ist ebenfalls fehlerhaft. Stattdessen betrachten wir den Beweis so:
Wir nehmen ohne Verlust der Allgemeinheit an, dass \(f(x_0) = 0\) bei einem bestimmten \(x_0 \in [a,b]\). Aufgrund der Definition der Funktion und der Tatsache, dass \(f\) stetig differenzierbar ist, können wir den Mittelwertsatz der Integralrechnung in Kombination mit der Dreiecksungleichung verwenden.
Für jedes \(x \in [a,b]\) gilt aufgrund der stetigen Differenzierbarkeit von \(f\), dass
\(
f(x) = f(x_0) + \int_{x_0}^x f'(t) \,dt.
\)
Betrachten wir den Betrag von \(f(x)\), erhalten wir:
\(
|f(x)| = \left| \int_{x_0}^x f'(t) \,dt \right| \leq \int_{x_0}^x |f'(t)| \,dt \leq \int_a^b |f'(t)| \, dt.
\)
Das zeigt, dass für jedes \(x\), \(|f(x)|\) weniger oder gleich dem Integral von \(|f'(t)|\) über \([a,b]\) ist, was bedeutet, dass das Maximum von \(|f(x)|\) auf dem Intervall ebenfalls dieser Bedingung genügt. Daher ist
\(
\max |f(x)| \leq \int_a^b |f'(x)| \,dx.
\)
Zu ii) ∫ |f(x)| dx ≤ (b-a) * ∫ |f'(x)| dx:
Hier ist die Idee, die mittlere Abschätzung für \(f(x)\) über das Intervall \([a,b]\) zu nutzen, allerdings war deine Überlegung mit dem Mittelwertsatz und einem bestimmten \(\xi\) nicht direkt auf dieses Problem anwendbar, und die Annahme über \(f(b)-f(a) = f'(\xi) \cdot (b-a)\) misinterpretiert den MWS der Integralrechnung.
Stattdessen argumentieren wir mit der Integralabschätzung direkt:
Erinnere, dass für jede stetige Funktion \(g : [a, b] \rightarrow \mathbb{C}\), die Ungleichung
\(
\left| \int_a^b g(x) \, dx \right| \leq \int_a^b |g(x)| \, dx
\)
gilt.
Anwenden dieser Ungleichung auf \(f(x)\) ergibt, dass für jede Zerlegung von \([a,b]\):
\(
\left|\int_a^b f(x) \, dx \right| \leq \int_a^b |f(x)| \, dx.
\)
Die wesentliche Idee, um zu zeigen, dass \(\int_a^b |f(x)| \, dx \leq (b-a) \int_a^b |f'(x)| \,dx\), ist die Anwendung der vorher gezeigten Ungleichung, dass \(|f(x)|\) für jedes \(x \in [a,b]\) durch das Integral der Beträge der Ableitung \(f'(x)\) beschränkt wird, und der Hinweis auf die lineare Ausdehnung des Intervalls \([a,b]\).
Insgesamt wird also der Direktansatz bei ii) durch den Mittelwertsatz oder die Herleitung über \(f(b) - f(a)\) nicht korrekt abgebildet. Stattdessen sollte stärker die grundlegende Eigenschaft der Stetigkeit und die direkte Integralabschätzung im Vordergrund stehen. Die Erklärung zu \(ii)\) müsste daher überarbeitet und mittels allgemeiner Prinzipien der Integration und Abschätzung der Integrale korrekt geführt werden, wobei der Kern der Argumentation die Überlegung beinhaltet, dass das Integral über \(|f(x)|\) durch eine Kombination der Länge des Intervalls und der maximalen Änderungsrate von \(f\), repräsentiert durch \(|f'(x)|\), beschränkt wird.
