Wie berechne ich hier die Nullstellen? Funktion mit e. f(x):=x*e^x

Question

ich hab die funktion g(x)= x\times { e }^{ x-1 } und soll die Nullstellen berechnen.

ich weiß schon, dass 0 rauskommen muss, steht in den abilösungen, aber ich hab kein plan, wie ich das anstellen soll.

Ich hatte g(x) schon mit 0 gleichgesetzt und dachte jetzt, dass ich das x erstmal auf die andere seite bringen muss und dann ln anwenden, aber dann teile ich doch die 0 durch x und geht das überhaupt? mich verwirren si funktionen mit e immer :(

Answer 1

Was bedeutet "times" ? Wie lautet die Funktion genau ? Deine Schreibweise ist unklar.
Wenn im Zähler nur x steht, ist die Nullstelle bei x=0, weil nur der Zähler Null werden kann/ darf.

Answer 2

Falls die Aufgabe so lautet:

y= x *e^{x-1}

->Satz vom Nullprodukt

0= x *e^{x-1}

x_1=0

e^{x-1} =0 ->kein x erfüllt die Gleichung

Answer 3

Hi,
\({ g(x)=x\cdot e }^{ x-1 }\) wird Null wenn ein Faktor des Produkts Null ist.
Da \({ e }^{ x-1 }\) für beliebige x-Werte immer ungleich Null ist, wird g(x) nur dann Null wenn der erste Faktor (\(x\)) Null ist, d.h. \(x=0\) gilt:
$$g(0)=0\cdot { e }^{ 0-1 }=0\cdot { e }^{ -1 }=\frac { 0 }{ e } =0$$