W(u,v) = u^2*v*e^{-2*u-v^2} u und v bestimmen?

Question

Der Baumbestand eines Waldgebiets ist durch hohen Schädlingsbefall geschwächt. Dem
soll durch Ausbringen zweier Nützlings-Populationen begegnet werden, welche die Schädlinge
dezimieren und damit den Zustand des Baumbestandes verbessern. Die Nützlinge
beeinussen sich jedoch gegenseitig in ihrer Wirkung; die Abhängigkeit der Wirkung von
der Menge der ausgebrachten Nützlings-Populationen lässt sich durch die Funktion

W(u,v) = u^2*v*e^{-2*u-v^2}

beschreiben, wobei u bzw. b die jeweiligen Mengen der beiden Nützlings-Populationen
angeben.
Mit welchen Werten von (u; v) erzielt man die beste Wirkung?
Anmerkung: Es lassen sich nur nicht-negative Mengen von Nützlingen ausbringen.

Comments

  die Frage läßt sich partieller Differentiation lösen. Dies habe ich hier aber schon zweimal bei anderen Fragen durchgeführt. Vielleicht hilft dir der Hinweis bereits weiter. Falls nicht, dann schreib hier das ich das einmal auf deine Frage bezogen vorführen soll.

  mfg Georg

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ich freue mich sehr, wenn du mir das vorführen könntest. Ich blicke da wirklich leider nicht ganz durch.

Tausend dank, wenn du das machen könntest!


MFG Conny

Answer 1

Hallo Conny,

W(u,v) = u^2 * v * e^{-2*u - v^2}

Das Verfahren nennt sich partitielle Differentiation. Wenn euch so eine ( Haus- ) aufgabe
gestellt wurde, müßt ihr das Verfahren im Unterricht besprochen haben.

Die Lösung ist : man führt zwei Ableitung durch, setzt diese null und hat dann eine
Extremstelle [ e^... ist die Abkürzung für e^{-2*u + v^2} ]

1. v wird constant angesehen, abgeleitet wird nach u
W´(u) = v * [ 2*u * e^... + u^2 * e^... * ( -2 ) ]
W´(u) = v * e^... [ 2*u - 2*u^2 ]
Extremstelle ( min oder max )
v * e^... [ 2*u - 2*u^2 ] = 0
v soll immer postiv sein
e - funktion ist auch immer postiv, also
[ 2*u - 2 *u^2 ] = 0
u = 1

2. u wird als constant angesehen, abgeleitet wird nach v
W´(v) = u^2 * [ 1 * e^... + v * e^... * (-2*v) ]
W´(v) = u^2 * e^... * [ 1 - 2 * v^2 ]
Extremstelle ( min oder max )
u^2 * e^... [ 1 - 2*v^2 ] = 0
u soll immer postiv sein, u^2 sowieso
e - funktion ist auch immer postiv, also
[ 1 - 2*v^2 ] = 0
v = √ (1/2 )

Ich hab´die Ergebnisse ein bißchen überprüft. Dürfte max sein und stimmen

mfg Georg

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

Comments

vielen lieben dank! ich hatte nur das von wolfram alpha ausrechnen lassen und da kam U = 1 und v= 1/sgrt2 raus?

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Meine Antwort : v = √ (1/2 ) und die Antwort von Wolfram sind gleich.

v= 1/sgrt2 ( sqrt = squareroot ) heißt v = 1 / √ 2

mfg Georg

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ja stimmt !! Vielen Dank, jetzt blicke ich da mehr durch