Exremalwertaufgabe: Zylinder mit maximalem Volumen in einem Kreis.

Question

Hallo Meine Aufgabe lautet: Gegeben ist ein Kegel, dessen Höhe doppelt so gross ist wie sein Grundkreisradius. Diesem Kegel wird ein Zylinder mit maximalem Volumen einbeschrieben. In welchem Verhältnis steht das Zylindervolumen zum Kegelvolumen?

Ich weiss, dass Vkegel: 1/3*Pi*r^2*h

und das Beim Kegel h= 2r ist also -> Vkegel: 1/3*Pi*2r^3

Das V vom Zylinder weiss ich auch, jedoch weiss ich nicht wie ich vorgehen muss.

:/

Answer 1

Wegen Strahlensätzen hat der Kegel in der Höhe x nur noch einen Radius von r_x = r-x/2. Dieser Radius steht für einen Zylinder der Höhe x zur Verfügung.

V_Zylinder(x) = πr_x² · x = π(r-x/2)² · x

Berechne den Hochpunkt H(x_h|V_Zylinder(x_h)) von V_Zylinder(x).

Das gesuchte Verhältnis ist V_Zylinder(x_h) / (2/3 π r³)