Beweis von Konvergenz der Folge (nte wurzel a + nte wurzel b)^n

Question

Hallo Community,

folgende Aufgabe:
Seien a ≥ 0 und b ≥ 0. Beweisen Sie, dass die Folge der Zahlen

(ⁿ√a + ⁿ√b)ⁿ

mit n aus den natürlichen Zahlen, n ≥1 genau dann konvergiert, wenn a = 0 oder b=0 gilt


Ich hab versucht über die Definition von Monotonie und Beschränktheit die Konvergenz zu zeigen, bin aber daran gescheitert dass Sie monoton wachsend aber unbeschränkt ist.

Comments

Fuer den Divergenzteil: Schreibe so um, dass Du die Bernoulli-Ungl. verwenden kannst.

Answer 1

diese Äquivalenz kannst du in 2 kurzen Schritten zeigen:

1) Zeige, dass die Folge konvergiert falls gilt: \(a = 0 \vee b = 0\).

2) Zeige, dass die Folge divergiert falls gilt: \( a \neq 0 \wedge b \neq 0 \). (Dafür den Tipp aus dem Kommentar verwenden.

Gruß

Comments

Danke für die Tipps. Wäre das so in Ordnung?

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Schwer lesbar bei vergrößerung. Sehe aber so schon mehrere Fehler auf die du dann sicherlich im entsprechenden Forum auch hingewiesrn wirst.

Answer 2

 
   Ist doch eigentlich easy. Wenn b = 0 , hast du a = const. Jetzt seien a > 0 ; b > 0




     a  <  n  >  =  a  [  1  +  +  ( b / a )  ^ 1 / n  ]  ^ n      (  1  )



   Mit n ===> ( °° ) geht die runde Klammer gegen Eins. Und zwar f´ür a < b von Oben und füe b < a von Unten. In dem Sonderfall a =  b ist die runde Klammer konstant Eins. Damit geht aber die eckige Klammer indgesamt gegen 2 ; und mit n ===> ( °° )fliegt dir diese e-Funktion um die Ohren.