Wie bestimme ich λ, sodass die Linearkombination s= p+q+λn die euklidische Länge √13 hat?

Question

ich verzweifle gerade an einer Aufgabe. Sie lautet wie folgt:"Man bestimme λ ∈ ℝ so, dass die Linearkombination s= p+q+λn die euklidische Länge √13 hat.Hierbei ist p= (3,0,4)^T , q=(-1,2,-2)^T , n = (1/√26) * (-4, 1,3)^T " (n habe ich selber ausgerechnet, Bedingug für n war, dass es die Länge 1 haben musste und senkrecht auf p und q stehen soll)
Ich sitze jetzt bestimmt 3 Stunden daran, aber ich komme einfach auf keine Lösung. Hat vielleicht einer von euch eine Idee?
Grüße

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Meine Überlegung war, dass ich einen Vektor herausbekommen muss, der die Koordinaten 3, 0 und 2 (Reihenfolge beliebig) haben muss, um die euklidische Länge √13 herauszubekommen. Da p+q = (2,2,2)^T , muss nλ folglich die Koordinaten 1, 0, -2 (Reihenfolge beliebig) haben, damit eben diese Koordinaten herauskommen. Nur habe ich das Problem, dass es kein λ gibt, bei der 1,0,-2 als Koordinaten herauskommen. Habe ich vielleicht irgendwo ein Denkfehler?

Answer 1

\( \phantom{\iff}\left|\left| \begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}q_1\\q_2\\q_3\end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}\right|\right| = \sqrt{13}\\ \iff \sqrt{{\left(p_1+q_1+\lambda n_1\right)}^2 + {\left(p_2+q_2+\lambda n_2\right)}^2 + {\left(p_3+q_3+\lambda n_3\right)}^2} = \sqrt{13}\\ \iff {\left(p_1+q_1+\lambda n_1\right)}^2 + {\left(p_2+q_2+\lambda n_2\right)}^2 + {\left(p_3+q_3+\lambda n_3\right)}^2 = 13\\ \iff p_1^2 + q_1^2 + n_1^2\lambda^2 + 2p_1q_1 + 2p_1\lambda n_1 + 2q_1\lambda n_1 \\ \phantom{\iff} + p_2^2 + q_2^2 + n_2^2\lambda^2 + 2p_2q_2 + 2p_2\lambda n_2 + 2q_2\lambda n_2  \\ \phantom{\iff} + p_3^2 + q_3^2 + n_3^2\lambda^2 + 2p_3q_3 + 2p_3\lambda n_1 + 2q_3\lambda n_3 =13 \\ \iff (n_1^2+n_2^2+n_3^2)\lambda^2 + 2(p_1+q_1+p_2+q_2+p_3+q_3)\lambda \\ \phantom{\iff} + (p_1^2+q_1^2+p_2^2+q_2^2+p_3^2+q_3^2 + 2(p_1q_1+p_2q_2+p_3q_3)) - 1 3= 0 \)

Das ist eine quadratische Gleichung.

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Ah ok, kannst du vielleicht noch kurz erklären wie ich dann auf λ komme?