f(x,y)=exp(x-y) +x^3 und D={(x,y) ∈R² : |x|+|y|≤1} beschränktheit und min/max der funktion ermitteln

Question

hallo zusammen habe folgendes Problem:

geg: f(x,y)=e^x-y+x³ und

a) D={(x,y)∈ℝ² : |x|+|y|≤1}

b) D={(x,y)∈ℝ² : |x|+y≤1}

gefragt ist jetzt, ob die Funktion auf D beschränkt ist und wenn ja, ob sie ihr min/max auf D annimmt.

zu a) hatte ich mir gedacht, dass man vielleicht eine fallunterscheidung machen kann

z.B.

x≥0 -> |y|≤1-x

x<0 -> |y|≤1+x

mit x=0 -> y∈[-1,1]

und y=0 -> x∈[-1,1]

würde die menge dann wie ein Viereck um den Ursprung aussehen

damit wäre D zumindest schon mal beschränkt

ich weiß aber nicht, wie ich hier weiter machen kann

gruß und danke für alle antworten

Comments

Abend,

bräuchte Hilfe bei einer Aufgabe.

f:D->ℝ  f(x,y)=e^x-y+x³ 

und (a) D=(x,y)∈ℝ²: IxI+IyI < 1}

        (b) D=.....

Untersuchen Sie, ob die Funktion f auf D beschränkt ist und, falls ja, ob Sie ihr Maximum und Minimum auf D annimmt.

Ich brauche nur bei der (a) Hilfe. Die (b) möchte ich gerne alleine versuchen.

Nun ich hab mir D angeschaut:

- D ist nicht beschränkt und nicht abgeschlossen, sondern offen.

Somit kann die Funktion gar nicht beschränkt sein, da D nicht beschränkt ist, oder?

Und ein Maximum/Minimum hat die Funktion auch nicht, da D abgeschlossen und beschränkt sein muss.(so hab ich es verstanden).

Danke für die Antworten.

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Vielleicht skizzierst Du das D aus (a) mal. Bei mir kommt da so'ne Art Raute bei raus.

Answer 1

bei a)

$$ \forall (x,y) \in D: |x-y| \leq 1 \Rightarrow |f(x,y)| \leq e+1 $$

Ob ein Maximum angenommen wird, findest du bestimmt selber raus.

Tipp zu b) die Funktion ist nicht beschränkt in diesem Def. Bereich.

Gruß