Grenzwert für 3 folgen an<=bn<=cn

Question

Lösung:

Kann jemand die Lösung erklären? Vor allem verstehe ich den Fall 1 nicht. Das epsilon-Kriterium ist mir bekannt und dass | an - a | < epsilon und | cn  - a | < epsilon ist ergibt sich aus lim an = lim cn.

Meine Vermutung: wir untersuchen bn links und rechts vom grenzwert a und schauen wie sich bn verhält...aber Fall 1 ist dennoch unklar.

Answer 1

Man betrachtet im ersten Fall das

$$ b_n \leq a $$

Daraus folgt

$$ a-b_n \geq 0 $$

Mit

$$ a_n \leq b_n \qquad \text{und} \qquad  \vert a_n-a \vert < \epsilon $$

folgt

$$ a-b_n \leq a-a_n = \vert a_n-a \vert < \epsilon $$

Diese Unterscheidung macht man, um die Betragstriche miteinzubeziehen, denn

$$ a-a_n \geq 0 \quad \text{für} \quad a<a_n $$

und

$$ a-a_n < 0 \quad \text{für} \quad a_n<a $$

Man braucht die Fallunterscheidung um das Gleichheitszeichen vor dem Betragsterm setzen zu dürfen.

Gruß

Comments

Da sind 2 Fehler in meiner Antwort bei den Beziehungen von a und a_n am Ende. Korrekt wäre

$$ a-a_n \geq 0 \quad \forall \quad a \geq a_n $$

und

$$ a-a_n < 0 \quad \forall \quad a < a_n $$

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Ich verstehe allerdings die Argumentation nicht. Du schreibst "Man braucht die Fallunterscheidung um das Gleichheitszeichen vor dem Betragsterm setzen zu dürfen.".  Wozu gleichsetzen? Wie ist der Gedankengang von der Aufgabenstellung zu einer Lösung? Mir ist nicht klar wie die zwei Fälle zur lösung beitragen :/

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Du hast recht, das mit dem  Betragsterm ist nur ein Teil der nötig ist.

1. Fall b_n <= a

Hier nutzt man dass b_n >= a_n gilt. Zusätzlich braucht man aber auch a >= a_n um den folgenden Term zu bekommen.

$$ a - b_n \leq a - a_n = \vert a_n -a \vert < \epsilon $$

$$ a - a_n = \vert a_n - a \vert \qquad \text{gilt nur wenn} \quad a \geq a_n $$

Das ergibt sich aus

$$ a \geq b_n \geq a_n $$

Für den 2. Fall b_n >= a macht man es genau spiegelverkehrt, mit b_n <= c_n

$$ b_n - a \leq c_n - a = \vert c_n - a \vert < \epsilon $$

$$ c_n -a = \vert c_n - a \vert \qquad \text{gilt nur wenn} \quad a \leq c_n $$

Das ergibt sich aus

$$ a \leq b_n \leq c_n $$

Im Endeffekt sucht man sich eine obere Schranke falls b_n grösser als a ist und eine untere Schranke für den anderen Fall.

Ich hoffe, das hat es etwas verständlicher erklärt.

Gruß