Entwicklungssatz von Laplace matrix

Question

Ich komme mit folgender Aufgabe überhaupt nicht klar. Kann mir hier vielleicht jemand einen Tipp geben? Wäre sehr dankbar für jede Hilfe.

Jetzt mit Aufgabe:

Sei An ∈ M(n,n,R) die Matrix, deren Eintrag in der i-ten Zeile und j-ten Spalte gegeben ist durch:

[An]ij = 1 falls i= j oder j=i+1,

            −1 falls j=i−1,

           0 sonst.

(a) Berechnen Sie det A4 mit Hilfe des Laplace’schen Entwicklungssatzes.

(b) Zeigen Sie, dass det An+1 = det An + det An−1 für n 2 gilt. 

(c) Mit der oben definierten Fibonacci-Folge u1, u2, . . . beweisen Sie, dass

det An = un+1

für n 1 gilt. 

 

  

Answer 1

An+1 =

1         1       0     0      0    ....................  0
-1       1        1     0      0  .....................  0
0        -1       1     1      0   ...................    0
0         0      -1    1       1   ......................0

................................................................
0        0       ....................... -1       1       1
0        0       ......................             -1      1   

wenn du das nach der 1. Spalte  entwicklelst, hast

du    1*X   - ( -1) * Y

und da ist  X = An   (denn da wird ja 1. Zeile und 1. Spalte gestrichen

und Y sieht so aus (bei der  wird 1. Spalte und 2. Zeile gestrichen)

         1       0     0      0    ....................  0

        -1       1     1      0   ...................    0
         0      -1    1       1   ......................0

................................................................
        0       ....................... -1       1       1
        0       ......................             -1      1  
und wenn du die nun nach der 1. Zeile entwickelst, ergibt es
gerade 1* A_n-1 
q.e.d.
Die Rekursion von Fibonacci stimmt schon mal, jetzt musst du nur noch
die Anfangswerte zeigen:
A₁=  det ( 1)    (1x1-Matrix)  = 1
A2= det von
1     1
-1   1
und das gibt 2.
also fängt es an mit A1=u2 und A2=u3  Passt !

Comments

Bin mir allerdings noch recht unsicher, was du bei der b) genau gemacht hast. Wie kommst du auf die beiden Zeilen unter deiner gepunkteten Linie?

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Habe es jetzt auch verstanden. Danke nochmal.