Hi Georg,
wenn ich das richtig verstehe meinst du mit linke 1. Ableitung \(f'(0)\) wie mathef es berechnet hat? Nach deiner Systematik betrachtest du aber die Annäherung von links.
Und wenn man sich bzgl der sonstigen Ableitungsfunktion von rechts an die Null nähert oszilliert die Funktion (richtig, genauso wenn man sich von links an die Null nähert). Das ist soweit korrekt, bedeutet aber in erster Linie nur eines:
-> Die Ableitungsfunktion ist in \(x=0\) nicht stetig ergänzbar (und somit in 0 auch nicht stetig).
Aber zur Differenzierbarkeit:
Das ist keine vollständige Definition sondern eher ein Satz, dem aber noch was fehlt. Grundsätzlich gilt:
Wenn eine Funktion (von R nach R) stetig und außerhalb eines Punktes differenzierbar ist und der linksseitige und der rechtsseitige GW der Ableitungsfunktion in diesem Punkt existieren und übereinstimmen DANN ist die Funktion dort auch differenzierbar.
Soweit so gut, das sind ziemlich viele Voraussetzungen. Der Satz oben ist eine Folgerung, die Umkehrung gilt hier NICHT im Allgemeinen. Also, d.h. eine Funktion kann zwar diffbar sein in einem Punkt, aber die angesprochenen GW müssen nicht existieren (wie in dieser Beispiel-Aufgabe). Existieren sie jedoch, dann müssen sie auch übereinstimmen (die Existenz ist also hier das eigentliche Problem).
Oft wird dieser Satz ja dazu benutzt um Differenzierbarkeit auszuschließen (also wenn beide GW existieren aber nicht gleich sind). Wenn aber beide nicht existieren (wie in diesem Fall) erhältst du keinen Widerspruch.
In diesem Sinne: Ja die Funktion ist überall differenzierbar.
Gruß
