Funktion überall differenzierbar?

Question

Die Funktion f : R → R sei definiert durch

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2} \sin \left(x^{-1}\right) & \text {für } x \neq 0 \\ 0 & \text { für } x=0 .\end{array}\right. \)

Zeigen Sie, dass f überall differenzierbar ist und berechnen Sie die Ableitung.

Bin komplett verwirrt, kann das jemand ? :-D

Answer 1

\(f\) ist für \(x\neq 0\) mittels Grundrechenarten und Potenzierung aus differenzierbaren Funktionen zusammengesetzt, also differenzierbar.

Darüber hinaus gilt

        \( \begin{aligned} & \lim_{h\to0}\frac{f(0+h)+f(0)}{h}\\ = & \lim_{h\to0}\frac{h^{2}\sin\left(h^{-1}\right)+0}{h}\\ = & \lim_{h\to0}\left(h\sin h^{-1}\right)\\ = & 0, \end{aligned}\)

also ist \(f\) auch für \(x = 0\) differenzierbar.

Comments

Das soll gezeigt werden und nicht behauptet!

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Danke für deinen Hinweis. Es wäre aber wirklich nicht nötig gewesen, einen Teil der Aufgabenstellung hier noch mal unter meine Antwort zu schreiben.

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Warum denn nicht? Die letzte Gleichheit erscheint irgendwie unbegründet.

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Die Gleichung scheint unbegründet, weil sie unbegründet ist. Zumindest in dem Sinne, dass ich keine Begründung geliefert habe. Ich vertraue darauf, das SarahTUM sich melden wird, wenn ihr an dem Beweis etwas unklar ist.