Question

Wie zeigt man, dass diese Funktion in x=0 differenzierbar ist?

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}{e^{-\frac{1}{x}}} & {:} & {\text { für } x>0} \\ {0} & {:} & {\text { für } x \leq 0}\end{array}\right. \)

Ich habe bisher den Differenzenquotienten angewendet, aber da bei dieser Funktion x=0 gar nicht erst definiert ist, weiß ich nicht, wie ich die Differenzierbarkeit sonst noch nachweisen könnte.

Comments

Die Funktion ist an der Stelle x=0 definiert.

---

Ja, aber ich meine den oberen Teil. Wen ich den Differenzenquotienten anwenden will, um zu schauen ob ein Grenzwert existiert, dann muss doch die Funktion immer weiter an den Punkt 0 heranrücken lassen, oder?

so meine ich das:

$$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}$$

Denn wenn die Funktion differenzierbar wäre muss, dieser Grenzwert doch 0 sein und somit mit der Ableitung des unteren Teil übereinstimmen, oder nicht?

Answer 1

z.z.: (i) f(x) muss stetig sein: \( \lim\limits_{x\to 0,x<0} \) f(x) = f(x) = \( \lim\limits_{x\to 0,x>0} \) f(x)

       (ii) Grenzwert der Ableitung von links/rechts muss übereinstimmen:

            \( \lim\limits_{x\to 0,x<0} \) f '(x) = \( \lim\limits_{x\to 0,x>0} \) f '(x)

Man muss zeigen, dass diese drei "="-Zeichen stimmen!

(i): \( \lim\limits_{x\to 0,x<0} \) f(x) = 0

         f(x) = 0

      \( \lim\limits_{x\to 0,x>0} \) f(x) = \( \lim\limits_{x\to 0,x>0} \) \( e^{\frac{-1}{x}} \) = 0

     ⇒ Stetigkeit in 0

(ii) f '(x) = \( e^{\frac{-1}{x}} \) *x^-2   für x>0,    f '(x) = 0 für x<0

     \( \lim\limits_{x\to 0,x<0} \) f '(x) = 0

     \( \lim\limits_{x\to 0,x>0} \) f '(x) = \( \lim\limits_{x\to 0,x>0} \) \( e^{\frac{-1}{x}} \) \( \frac{1}{x^{2}} \) = 0

⇒ Differenzierbarkeit in 0, f '(0) = 0