globale minimum von mehrdimensionalen funktionen bestimmen

Question

Hallo

ich sitze gerade bei einer aufgabe und weiß nicht genau wie ich das machen soll.

Die aufgabe lautet:

Bestimme das globale minimum der funktion f mit f(x,y)=x^2+xy+y^2+x+y+1.

Also ich weiß dass ich jetzt einmal nach x ableiten muss und einmal nach y.

∂x = 2x+y+1 ∂y=x+2y+1

so muss ich diese beiden funktionen nochmal ableiten??

wenn ja wi geht es dann weiter (Hesse Matrix??)

ich glaub ich bring die sachen irgendwie noch durcheinander ich weiß glaub ich nicht so wirklich was ich wann anwenden soll.

für hilfreiche Tipps wäre ich sehr dankbar :(

Answer 1

eigentlich bist du ja fast schon am Ziel. Du hast jetzt 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten. Ein Extremum liegt vor wenn die erste Abeitung null ist.

Ich schreibe mal etwas anders als du.

∂x = 2x+y+1
∂y= x +2y+1

f´(x) = 2 * x + y + 1
f´(y) = x + 2 * y + 1

2 * x + y + 1 = 0
x + 2 * y + 1 = 0

1.Gleichung  nach y umstellen
y = -2 * x - 1
in die 2.Gleichung einsetzen
x + 2 * ( -2 * x  - 1 )  + 1 = 0
x - 4*x -1 = 0
-3 * x = 1
x = -1/3

y = -2 * x -1 = -2*(-1/3) - 1
y = -1/3

Probe :

2 * x + y + 1 = 0
2 * (-1/3) + (-1/3) + 1 = 0

x + 2 * y + 1 = 0
(-1/3) + 2 * (-1/3) + 1 = 0

mfg Georg

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Comments

Nachtrag Minimum oder Maximum :

f´(x) = 2 * x + y + 1. Für y = -1/3 gilt
f´(x) = 2 * x +(-1/3) + 1
f´(x) = 2 * x + 2/3

f´´(x) = 2 ( positiv )

( -1/3 / -1/3 ) ist ein Minimum

mfg Georg

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aa super habs verstanden :)

also noch eine kurze frage, also hesse matrix hat dann nichts mit meiner aufgabe zu tun oder ich muss nur die punkte also den minimumm bestimmen und sonst nichts. hab ichs richtig verstanden?

Und danke nochmal für den ausführlichen rechenweg:)

Gruß

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  ich bin nur ein Amateur. Zur Hesse Matrix kann ich dir nichts sagen. Bei Wikipedia läßt mich die Hesse Matrix erschaudern.

  mfg Georg

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ok danke trotzdem für deine antwort hat mir sehr geholfen :)

Gruß

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Hallo.

Die positive Definitheit der Hesse-Matrix bei dieser Aufgabe (das Beispiel auf Wikipedia ist dafür wirklich sehr gut) zeigt, dass (x,y) = (-1/3, -1/3) tatsächlich ein Minimum ist.

Die Hesse-Matrix sollte so aussehen: [[2  1]; [1  2]] (erstes Paar= erste Zeile, zweites Paar = zweite Zeile) und ist wirklich positiv definit (berechne dazu det(H-λE₂), wenn E₂ die 2x2-Einheitsmatrix ist und finde über das Polynom in Abhängigkeit von λ die Nullstellen, welche die Eigenwerte sind [und überdies beide positiv]).

Wir wissen jetzt, dass wir ein Minimum haben. Um aus dem "einfachen" Minimum ein GLOBALES zu machen, fehlt allerdings noch die Grenzwertbetrachtung für x,y→∞ -- wichtige Sache, nicht vergessen ;-)

LG

BlackyDee

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hey super vielen dank für die info.

Ich habe das jetzt auch berechnet und bekomme auch die hessematrix raus.

Für die Eigenwerte habe ich λ=3 und λ=1 raus (ich hoffe das stimmt so)

Also habe ich das jetzt richtig verstanden da meine Eigenwerte größer 0 ist, habe ich ein Minimum?

hätte noch kurz zum globalen minimum eine frage und zwar muss ich jetzt für x,y -> ∞ also in die funktion dieich gegeben habe einsetzen? stimmt oder?

wenn ich jetzt nämlich für x-> ∞ einsetze und auch y-> ∞ kriege ich ja raus dass meine Funktion gegen 1 konvergiert..

habe ich das so richtig verstanden?