Berechne die Konstanten,Extremwertaufgabe,Exponentialfunktion

Question

g(t)=a*t*e^-b*t

a>0,b>0
t....zeit in Stunden
g(t)....wird in der Einheit mg/l gemessen
Nach 4 Stunden erreicht das Medikamen seine größte Konzentration von 10mg/l
Bestimme die Konstanten a und b

Answer 1

g(t)=a*t*e^-b*t

a>0,b>0

t....zeit in Stunden
g(t)....wird in der Einheit mg/l gemessen
Nach 4 Stunden erreicht das Medikamen seine größte Konzentration von 10mg/l
Bestimme die Konstanten a und b

g ( t ) = a * t * e^{-b*t}
g ´( t ) = a * ( 1 * e^{-b*t}  + t * e^{-b*t} * (-b )
g ´  ( t )  = a * e^{-b*t} * ( 1 - b * t )

g ( 4 ) = a * 4 * e^{-b*4} = 10
g ´  ( 4 )  = a * e^{-b*4} * ( 1 - b * 4 ) = 0

a * e^{-b*4} * ( 1 - b * 4 ) = 0
a * 4 * e^{-b*4} = 10  | dividieren
--------------------------------------
( 1 - b * 4 ) / 4 = 0
1 - b * 4 = 0
b = 1/4

a * 4 * e^{-1/4*4} = 10
a * 4 * e^{-1} = 10
4 * a = 10 * e
a = 2.5 * e

Comments

Danke Georg, du bist der Beste,kein Mitschüler in meiner Abend HTL Gruppe war fähig(oder wollte nicht) diese Aufgabe zu lösen.Herzlichen Dank du bist mein Held der Stunde!!  :-)

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Gern geschehen.

Was ist das Abend HTL Gruppe ?

Answer 2

g(t)=a*t*e^-b*t

g ' (t) = a*t*(-b)*e^-b*t + a*e^-b*t= a*e^-b*t ( -bt + 1)

und wenn bei t=4 ein Extremum ist, muss  -b*4+1 = 0 sein, also  b = 1/4

und wenn g(4) =  10 ist gilt mit b=1/4

10=a*4*e^-1  

a = 2,5*e

also g(t) = 2,5*e*t*e^-0,25*t

Comments

Sieht gut aus

~plot~2.5*e*x*e^{-0.25*x}; [[0|6|0|10]]~plot~

Answer 3

g(t) = a • t • e^{-b · t} 

g '(t) = a·e^{-b · t} • (1 - b ·t)

g(4) = 10  und  g '(4) = 0

Die Lösung des Gleichungssystem ergibt a und b

a = 5·e/2  ∧  b = 1/4

Gruß Wolfgang