Zeigen, dass B eine Basis von ℂ ist

Question

Sei ℂ ein ℝ-Vektorraum

Zeigen Sie, dass B = {1, i} eine Basis von ℂ ist


Als ersten Schritt weiß ich, dass man zeigen muss, dass die Elemente linear unabhängig sind, aber wie das geht weiß ich auch nicht

Answer 1

so wie immer, mit der Definition von linearer Unabhängigkeit. Du weißt ja sicherlich, dass \(\mathbb{C}\) ein Körper ist, also kommt man relativ schnell auf:

$$ a \cdot 1 + b \cdot i = 0 \Leftrightarrow a = 0 \wedge b = 0 $$

Gruß

Comments

Ist das denn der Beweis damit fertig? Ich glaube ich muss nämlich noch zeigen, dass es auch ein Erzeugendensystem ist

Also B = λ*1+λ*i

Sieht der ganze Beweis dann so aus?

a*1+b*i = 0 ⇔ a = 0 Λ b = 0
B = λ*1+λ*i

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Das B ein EZS ist geht doch sofort darauf hervor, dass jede komplexe Zahl die Darstellung

$$ z = a+bi$$

hat, wobei a und b zwei reelle Zahlen sind.