Integral und seine Anwendung: Stammfunktion, eingeschlossene Fläche, ...

Question

Ich lerne gerade für meine mündliche Matura in Mathe und muss folgende Fragen beantworten:

Erläutern Sie den Begriff Stammfunkion!

Gegeben sind diese zwei Funktionen f: y=x² + 4 und g: y= 2x² - 8. Ermitteln Sie den Inhalt des Flächenstücks, das von den beiden Kurven begrenzt wird!

Erläutern Sie an Hand der Graphik allgemein die Volumenberechnung von Rotationskörpern!

Answer 1

Erläutern Sie den Begriff Stammfunkion! 

Ist F: D→ℝ  differenzierbar mit F' = f , dann heißt  F "Stammfunktion" von f .

gesuchte Fläche:

Schnittstellen der beiden Funktionen:

x² + 4 = 2x² - 8   ⇔  x = - 2·√3  oder  x = 2·√3

in diesem Bereich liegt  x ↦ x² + 4 höher und wegen der Symmetrie zum Ursprung kann den doppelten eingeschlossenendoppeltenFlächeninhalt über dem Intervall [0 ; 2√3] ausrechnen:

A = 2 • ₀∫^2√3  (x²+4 - (2x² -8)) dx = 2 • ₀∫^2√3  (12-x²) dx   =  32 • √3

Rotationsvolumen:

die Überlegungszeichnung ist sehr gewöhnungsbedürfitig.

Du musst dir das kleine Rechteck in der Mitte so schmal [ Δx sehr klein ≈ dx ] vorstellen, dass die beiden senkrechten Seiten "praktisch" gleich lang  [ ≈ f(x_i) ]  sind und oben bis zum Graph und unten bis zur x-Achse reichen. Wenn dieses Rechteck um die x-Achse rotiert, entsteht ein Zylnder mit der Höhe Δx ≈ dx und dem Radius f(x_i). Dieser hat das Volumen  π • r² • h  =  π • f(x_i)² • dx.

Addiert man diese "beliebig vielen" kleinen Zylinder ergibt ihre Summe  ∫ π • f(x)² • dx.

→  Rotationsvolumen = π  •  x1∫^x2 f(x)² • dx.  

Gruß Wolfgang

Comments

super danke!
könntest Du mir bitte beider dritten Aufgabe die einzelnen Bezeichnungen erklären? :)

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Immer wieder gern :-)

Hab zum Rotationsvolumen die Aufgabe ergänzt.

Answer 2

Bei der Volumenberechnung von Rotationskörpern gehe ich immer wie
folgt vor :

- wie ist der Funktionswert an der Stelle
- wie ist die Formel für die Fläche die an dieser Stelle
sich z.B. beim Durchschneiden ergibt ( Kreis )
f ( x ) ist dann der Radius des Kreises.
- Die aufsummierten Flächen ergeben das Volumen ( Integralrechnung )

f ( x ) = ....
A ( x ) = [ f (x ) ]^2  * π
Stammfunktion =  ∫ A ( x ) dx
V ( x ) = [ Stammfunktion ] _x1 ^x2

Comments

Kleiner Einwand zu: 

"Die aufsummierten Flächen ergeben das Volumen ( Integralrechnung )"

Flächen ergeben noch kein Volumen. Etwas genauer:

Die Schnittflächen werden durch den Integrationsmechanismus quasi mit "dx" (Zylinderhöhen) multipliziert. Die Summe dieser Volumina ergibt das Volumen des Rotationskörpers. 

Wolfgang hat das genauer ausgeführt. 

Dein Vorgehen bei den Rechnungen ist natürlich korrekt. An der mündlichen Matur will man aber die Theorie hören. 

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Lu, stimmt natürlich. Es werden Volumina addiert.

Also besser

a1 * dx + a2 * dx + a3 * dx...
( a1 + a2 + a3 .... ) * dx
∫ A ( x ) dx