Kern einer Matrix mit 2 Nullzeilen bestimmen

Question

ich will den Kern dieser Matrix berechnen:

1 0 -1/4 -3/8

0 0   0     0

0 0   0     0

0 1 -1/2 3/4

Das heißt Matrix * (a b c d)^T = (0 0 0 0)^T

Somit erhalte ich das LGS:

a - 1/4 c - 3/8 d = 0

b - 1/2 c + 3/4 d = 0

Das ist ja nicht eindeutig lösbar. Aber wie bestimme ich nun den Kern?

Answer 1

c und d können beliebig gewählt werden. Dann müssen a = 1/4 c + 1/8 d und b = 1/2 c + 3/4 d sein. Kern ist also {(a,b,c,d)^T ∈ℝ⁴ | a = 1/4 c + 1/8 d ∧ b = 1/2 c + 3/4 d} oder anders ausgedrückt

\( \text{Kern} = \left\{\left. r_1\cdot \begin{pmatrix}\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}\\1\\0\end{pmatrix} + r_2\cdot \begin{pmatrix}\frac{1}{8}\\\frac{3}{4}\\0\\1\end{pmatrix} \right| r_1,r_2 \in \mathbb{R}\right\} \)

Comments

Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch. Ich verstehe alles, bis auf den Schritt, wo du auf die beiden Basisvektoren vom Kern kommst. Wie komme ich von der Bildungsvorschrift von a und b auf diese Vektoren?

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\(a = \frac{1}{4}c + \frac{1}{8}d\\b = \frac{1}{2}c + \frac{3}{4}d\\c = 1c + 0d\\d = 0c + 1d \)

Jetzt auf der rechten Seite die Variablen durch Parameter ersetzen.