Basis von Bild einer linearen Abbildung

Question

Wenn ich eine lineare Abbildung v : V -> W  habe und die Basis von Kern(v) (Dimension k ) bestimme {a1,...,ak} , kann ich diese zu einer Basis von V (Dimension n) erweitern : {a1,.....,ak,...an} . Für die zusätzlichen ak+1 ... an Elemente gilt : {v(ak+1) , ...v(an)} ist Basis von Bild(v) . Warum ist das so ?

Answer 1

Wenn ich eine lineare Abbildung v : V -> W  habe und die Basis von Kern(v) (Dimension k ) bestimme {a1,...,ak} ,

kann ich diese zu einer Basis von V (Dimension n) erweitern : {a1,.....,ak,...an} .

Für die zusätzlichen ak+1 ... an Elemente gilt : {v(ak+1) , ...v(an)} ist Basis von Bild(v) .

Warum ist das so ?

: {a1,.....,ak,...an} ist eine Basis von V.

also ist : {f(a1),.....,f(ak),...f(an)} jedenfalls ein Erz.system für Bild(V).

und f(a1),.....,f(ak) sind alle 0, da die a's alle aus Kern(f) sind. Werden also für eine Basis

sicher nicht gebraucht.

Die restlichen sind linear unabhängig, denn mit x_k+1*f(a_k+1) + x_k+2*f(a_k+2)+...x_n*f(a_n) = 0

hast du ja wegen der Linearität  auch f (  x_k+1*a_k+1+ x_k+2*a_k+2+...x_n*a_n) = 0

und damit x_k+1*a_k+1+ x_k+2*a_k+2+...x_n*a_n = 0  ; denn im Kern ohne 0-Vektor sind sie ja nicht.

Und weil die a's lin. unabh. sind, sind es also deren Bilder auch.

Also sind f(ak),...f(an) eine Basis für Bild(V).

hast du ja