Stetigkeit an der Stelle x=2

Question

Wenn ich die stetigkeit an der Stelle x=2 berechnen soll und ich für den Bruch x=2 einsetze , kommt ja keine Lösung, kann man dann direkt sagen, dass sie unstetig ist.?
 

Answer 1

In einer hinreichend kleinen Umgebung um 2 ist der Zähler nahe bei 4 und der Nenner nahe bei 0. Der Betrag des Quotienten kann also beliebig groß werden. Insbesondere ist der Betrag des Quotienten nicht nahe bei 2. Also ist die Funktion bei x=2 nicht stetig.

Comments

Danke.

Eine Frage noch, dürfte man das auch so begründen ?

f(2)=unlösbar

Answer 2

 kann man dann direkt sagen, dass sie unstetig ist.?

Nein, kann man nicht, weil f(2)=2 durch die untere Zeile der Funktionsvorschrift definiert ist.

Die Funktion wäre stetig in 2, wenn lim_x→2 f(x) = f(2) wäre.

Da der linksseitige Grenzwert lim_x→2- f(x) = lim_x→2- [ (x+2) / (x-2) ] nicht existiert ( Zähler → 4, Nenner→0), existiert der Grenzwert nicht → f ist in 2 unstetig.

Gruß Wolfgang

Answer 3

Es wird zunächst der linksseitige 2(-) Grenzwert gebildet

Zuerst für den Nenner

lim x −> 2(-)
1.9 : 1.9 - 2 = -0.1
1.99 : 1.99 - 2 = -0.01
1.999 : 1.999 - 2 = -0.001

lim x −> 2(-)  [ x - 2 ] = 0(-)

insgesamt
lim x −> 2(-)  [( x + 2 ) / (  x - 2 )] = 4 / 0(-) = -∞

Der Funktionswert für f ( 2 ) = 2

Die Funktion ist also nicht stetig

~plot~   ( x < 2 ) * (x+2)/( x-2) + ( x > 2 ) * 2 ; x = 2 ~plot~

Die blaue Funktionskurve kann nicht in einem Zug gezeichnet werden.