Stetigkeit an einer Stelle beweisen

Question

Aufgabe:

Zu zeigen ist die Stetigkeit mit Hilfe des Epsilon-Delta-Kriteriums an der Stelle xo=-1 für folgende Funktion:
f(x)= (x-1)/(x^2+1)

Problem/Ansatz:

Dafür habe ich für |f(x)-f(xo)| xo=-1 eingesetzt und zu (x+x^2)/ (x^2+1) umgeformt.

Kann man nun das Epsilon-Delta Kriterium anwenden und ein Delta finden oder ist mein Ansatz falsch?

Comments

Hallo

mit f(x0)=-1 komme ich nicht auf dein Ergebnis . das Epsilon-Delta Kriterium kann man immer anwenden wenn man richtig rechnet .

Gruß lul

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Wenn ich -x einsetze: (-1-1)/((-1)^2+1)= -2/2 also -1

Durch die minusklammer dann +1. Das habe ich auf den selben Nenner gebracht (x^2+1). Wo liegt mein Fehler?

Answer 1

Ich meine schon, dass du richtig gerechnet hast.

Musst jetzt also zu positivem ε ein δ finden, dass aus

|x+1| <δ  folgt |(x+x²)/ (x²+1) |< ε

Das müsste klappen; denn x^2+1 > 1 also muss

nur |x+x^2| < ε gelten bzw.

    |x| * | x+1 | < ε   #

Und wenn man zunächst δ<0,5 festlegt,

dann ist ja |x| < 1,5 also # erfüllt, wenn

              |x+1| < 2 ε / 3  =  δ ist.

Also ist wohl   δ := min {0,5 ; 2 ε / 3 } eine

geeignete Wahl.