|f(x) - f(x0)| = |√(x^2 - x - 6) - √(3^2 - 3 - 6)|
= |√(x^2 - x - 6) | Betrag kannst du weglassen, da √ nie negativ ist.
Außerdem ist f nur für x ∈ [ 3 ; ∞ [ ( und dann wieder für x≤-2 ) definiert.
Du hast also
|f(x) - f(x0)| = √(x^2 - x - 6) = √((x-3)*(x+2))
Und du brauchst ein δ , damit zu irgendeinem
positiven Epsilon aus |x - 3| < Delta folgt
√((x-3)*(x+2)) < ε
<=> √(x-3)*√(x+2)) < ε
<=> √(x-3) < ε/*√(x+2)
Da alles nicht negativ ist, kannst du quadrieren
x-3 < ε^2 /(x+2)
Für x≥3 ist x+2 ≥5 , also ist der Nenner rechts
jedenfalls ≥5 und damit ist
ε^2 /(x+2) ≤ ε^2 /5
Es genügt also, das x so zu wählen, dass
x-3 < ε^2 / 5
Diese Vorüberlegung kannst du beim Beweis weglassen.
Du sagst also: Sei ε>0. Wähle δ = ε^2 / 5
Dann gilt für alle x≥3 (Definitionsbereich von f) mit |x - 3| < δ jedenfalls
auch x -3 < δ , also
x-3 < ε^2 / 5 alles nicht negativ, also
==> √ (x-3) < ε/ √5
und weil für alle x≥3 folgt x+2 ≥ 5 gilt
√ (x-3) < ε/ √(x+2)
==> √ (x-3) *√(x+2) < ε
==> | f(x) < ε und wegen f(3)=0 also
|f(x) - f(3)| < ε q.e.d.
