Stetigkeit einer Funktion beweisen?

Question

Ich will folgende Aufgabe lösen:

Nun ja bis jetzt war mir nur das Verfahren mit dem Limes bekannt, aber hier geht das ja nicht.

So wie ich herausgefunden habe muss man mit dem EpsilonDelta Argument beweisen..

Differenzierbarkeit hab ich bewiesen in dem ich den Ausdruck einfach abgeleitet habe.. √x= x^{1/2} 

Zur Stetigkeit..

Es ist doch kein Epsilon oder gegeben ? wie kann ich dann zeigen, dass es kleiner Epsilon bzw. Delta ist?

Answer 1

Differenzierbarkeit hab ich bewiesen in dem ich den Ausdruck einfach abgeleitet habe.. √x= x^1/2

Ich denke mal, das dies das Ergebnis ist, sollst du beweisen. Zum Beispiel

über so einen Ansatz wie

( √(x+h) - √x  ) / h hat für x > 0 und    h gegen 0 den Gw.   1/(2√x) .

Zur Stetigkeit..

Es ist doch kein Epsilon oder gegeben ? w
Du musst zeigen, dass es für jedes a≥0 und für jedes  eps>0 ein delta gibt mit
| x - a | < delta ⇒  |  √x  -  √a | < eps

Tipp:    | x - a |   =    |  √x  -  √a | *   |  √x  +  √a |

Answer 2

 

hier kannst du dich bzgl. der Stetigkeit informieren:

https://www.mathelounge.de/86981/stetigkeit-wurzel-epsilon-delta-kriterium-beweisen-richtig

Die Differenzierbarkeit mit der Definition:

\(\frac{√x - √x_0}{x - x_0}\)  =  \(\frac{(√x - √x_0)·(√x + √x_0)}{(x-x_0)·(√x + √x_0)}\)  =\(\frac{x-x_0}{(x-x_0)·(√x+√x_0)}\)  = \(\frac{1}{√x+√x_0}\)  → \(\frac{1}{2·√x_0}\)   für x→ x₀  

Der Grenzwert existiert wegen der Stetigkeit.

Gruß Wolfgang