komplexe zahlen umrechnung von expontentialform zu normalform

Question

kleines verständnisproblem, ich habe die komplexe zahl in exponentialform:

z = 4 * e^j*340°

die normalform ist ja z = x + jy

x = 4 * cos(340°) = 3.75

y = 4* sin(340°) = -1.37

das wären dann z = 3.75 - j1.37

aber in exponentialform ist vor dem j doch kein minus zeichen ?

zweite frage : wie kriege ich den winkel heraus wenn ich nur die normalform gegeben habe `?

Answer 1

ich hoffe folgende Darstellung hilft für Dein Verständnis:

~draw~ ;vektor(0|0 3.75|-1.37 "r");punkt(3.75|-1.37 "Z");kreissektor(0|0 1 0 340);vektor(3.75|0 0|-1.37 "y");vektor(0|-1.37 3.75|0 "x");;zoom(4) ~draw~

Der Kreissektor ist Phi=340°. Der Vektor r hat die Länge 4. Damit ist z bestimmt.

In Expontentialform wird eine komplexe Zahl also durch einen Vektor oder auch Radius und den Winkel dieses Vektors / Radius in Bezug zur positiven x-Achse bestimmt.

In Normalform geschieht das durch Eintragen des Realteils auf der x-Achse und des Imaginären teils auf der y-Achse.

Wäre des Winkel jetzt nicht 340° sondern 160° gewesen, wäre der Realteil negativ, der Imaginärteil aber positiv. Die Vorzeichen in den einzelnen Formen haben also keinen direkten Zusammenhang

~draw~ ;vektor(0|0 -3.75|1.37 "r");punkt(-3.75|1.37 "Z");kreissektor(0|0 1.5 0 160);vektor(-3.75|0 0|1.37 "y");vektor(0|1.37 -3.75|0 "x");;zoom(4) ~draw~

Man berechnet den Radius über den Pythagoras aus Real- und Imaginärteil

$$ r = \sqrt{x^2+y^2} $$

Den Winkel erhält man entweder über den Sinus ,y und r oder Cosinus x und r oder Tangens mit x und y. Hier muss man nur beachten in welchem Quadranten man sich befindet und entsprechend den richtigen möglichen Winkel wählen.

Beispiel

$$ \varphi =  \arccos (x / 4) = \arccos ( \frac{15}{4} : 4 )\approx 20° $$

Da Sinus, Cosinus und Tangens 2 Pi periodische Funktionen sind, gibt es mehrere Möglichkeiten um welchen Winkel es sich handeln kann. Sinnvoll sind nur Winkel von 0 - 360° oder -180 bis 180° je nachdem wie man es definiert hat, die den gleichen Cosinus liefern: hier 20° und 340° bzw. -20° und 20°. Da wir wissen, Z liegt im 4.Quadranten, x positiv und y negativ, kann es sich nur um 340° respektive -20° handeln.

Selbstverständlich wäre 360°+ 340° grundsätzlich auch eine korrekte Lösung, aber unnötig und daher meist nicht in der Defnition.

~draw~ ;vektor(0|0 3.75|1.37 "r");vektor(0|0 3.75|-1.37 "r");punkt(3.75|1.37 "Z1");punkt(3.75|-1.37 "Z2");kreissektor(0|0 1.2 0 20);kreissektor(0|0 1. 0 340);vektor(3.75|0 0|1.37 "-y");vektor(3.75|0 0|-1.37 "y");vektor(0|1.37 3.75|0 "x");vektor(0|-1.37 3.75|0 "x");;zoom(4) ~draw~

Wie man sieht ist Z2 die korrekte Lösung.

Gruß

Comments

vielen dank für die mühe snoop, sehr leicht verständlich !