[Differentialgleichung]: Fixpunkte-Fälle klären

Question

folgende Aufgabe ist gegeben:

Vorschlag zu:
(a)


Wie in der Beispielgrafik zu erkennen kann eine reelle Zahl z.B. -1, 0, √2, e, π usw. sein.
Wenn man die Funktion f(x)=sin(x) verwendet, dann ist der Fixpunkt bei π.

(b)
Wenn man die Funktion f(x)=2x+1 verwendet, dann ist der Fixpunkt bei -0.5.

(c)
Es gibt keine Funktion mit genau drei stabilen Fixpunkten. Eine sin-oder cos-Funktion müsste eingegrenzt werden.

(d)
Wenn man die Funktion f(x)=e^x verwendet, dann gibt es keine Fixpunkte, da die Funktion die 0 nie "berühren" wird (-∞).

(e)
Es gibt keine Funktion die genau 100 Fixpunkte hat, man müsste die Funktion eingrenzen (f(x)=0, 0-100)

Sind meine Vorschläge richtig?

Beste Grüße,

Asterix

Comments

Es ist auf jeden Fall wichtig, dass die Funktionen stetig sind. Dann ist die zeitliche Ableitung einer Funktion gesucht, die einen oder mehrere Fixpunkt(e) enthält oder nicht. Sind meine Vorschläge richtig oder gibt es ein anderes Lösungsverfahren? Es ist eine neue Thematik und bin mir deswegen nicht sicher.

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Mir gefällt die gegebene Differenzialgleichung nicht wirklich.

Das wäre doch

dx/dt = f(x)           | separierbar

1/f(x) * dx = dt 

... 

Bist du hiervon ausgegangen? 

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Hallo TR,

Nein, ich habe einen anderen Ansatz gewählt. Du hast Recht, man kann die DGL separieren und man erhält:
$$\frac { x'(t) }{ f(x(t)) } =1\\ { c }_{ 1 }+t=\int _{ 1 }^{ x(t) }{ \frac { 1 }{ f(z) } dz } $$

Die DGL ist in 1. Ordnung und nicht linear.

Jetzt muss man nur noch stetige Funktionen einsetzen und die Fixpunkt-Fälle (a bis e klären).

Periodische Funktionen (sin, cos usw.) müsste man eingrenzen können, aber ist es in dieser Aufgabe möglich?

Beispiel:
 $$f(z)=sin(z)\\ { c }_{ 1 }+t=\int _{ 1 }^{ x(t) }{ \frac { 1 }{ f(sin(z)) } dz } =\left[ -log(cot(z)+csc(z))+C \right] x(t)|1$$

↦ Es ist also ein falscher Ansatz, da die Funktion zu kompliziert wird...

Hat jemand eine Idee wie man diese Aufgabe (ganz oben) lösen kann?

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Alles noch einmal neu:
$$\frac { d }{ dt } x=f(x)\\ \frac { dx }{ dt } =f(x)\\ \frac { 1 }{ f(x) } \cdot dx=dt\\ \int _{ f({ x }_{ 0 }) }^{ f(x) }{ \frac { 1 }{ b(u) } du=\int _{ { x }_{ 0 } }^{ x }{ a(y)\quad dy }  } \\ \left[ ln(u) \right] =\left[ ay \right] \\ ln(f(x)-ln({ x }_{ 0 }))={ e }^{ a(x-{ x }_{ 0 }) }\\ \frac { f(x) }{ f({ x }_{ 0 }) } ={ e }^{ a(x-{ x }_{ 0 }) }\\ f(x)=f({ x }_{ 0 })\cdot { e }^{ a(x-{ x }_{ 0 }) }$$