Question

Wieso sind Fixpunkte Grenzwerte? Ich habe mir einiges dazu angesehen und bin leider einfach verwirrt. Konvergenz und Fixpunkte soweit verstanden. Auch auf Unilevel, ich studiere Biologie. Der Zusammenhang zwischen Fixpunkt und Grenzwert, der leuchtet mir aber nicht so ganz ein. Sry falls sowas nicht gepostet werden darf, habe keine konkrete Aufgabe. Die Aufgabe wäre wohl die Beantwortung der Frage :')

Die Folie vom Prof besagt: Wenn eine Folge einen Grenzwert in D besitzt, dann ist dieser

auch einer der Fixpunkte der Folge, denn lim f_n = lim g (lim f_n-1 ) = g (lim f_n-1) = g (lim f_n)   

überall wo lim steht ist darunter n gegen unendlich. Hoffe jemand kann mir ein Tipp geben ^^

Answer 1

Hallo

ein Fixpunkt ist im allgemeinen kein Grenzwert,  sondern der Punkt an dem f(x)=x aber die Verfahren, wie man einen Fixpunkt sucht  bzw findet haben den Fixpunkt als GW . Meinst du das?

Gruß lul

Comments

Dieses Verfahren kann man aber doch nur für Kontraktionen benutzen. Ob f eine Kontraktion ist oder nicht, weiß man ja erstmal noch nicht.

Mein Wissen begrenzt sich leider auf den Fixpunktsatz von Banach und es gibt ja noch einige andere Fixpunktsätze, gibt es denn evtl. ein allg. Verfahren, mit dem man Fixpunkte von Abbildungen sucht, die eventuell keine Kontraktionen sind?

Answer 2

Achtung. Das folgende ist mathematisch nicht sauber. Ich denke aber es hilft dir auf die Sprünge warum das so ist.

Nimm mal an du hast eine rekursiv definierte Folge

a1 = ... ; a_n+1 = f(a_n)

Dann wäre ein Fixpunkt ein Wert, der auf sich selbst abgebildet wird.

a_n+1 = f(a_n) = a_n

also

a_n+1 = a_n

Aber das sind ja genau die Grenzwerte, die sich nicht mehr verändern.

Answer 3

Wenn eine Folge einen Grenzwert in D besitzt, dann ist dieser

auch einer der Fixpunkte der Folge,

Deine Fragestellung beweist, dass du diese Aussage logisch nicht verstanden hast.

Aus der Aussage "Grenzwerte sich (auch) Fixpunkte" hast du

"Fixpunkte sind Grenzwerte" gemacht.

Das ist ungefähr so, als würdest du die Aussage "Alle Hunde sind Tiere" umformulieren zu "Alle Tiere sind Hunde".

Comments

Lol. Was mich trotzdem noch verwirrt ist wie denn ein "fixer" Punkt der auf einer Funktion liegt gleichzeitig ein Grenzwert sein kann, also ein Wert den die Funktion nie erreicht sondern sich halt nur nähert. Vlt überspringe ich das Thema einfach bei der Prüfung es macht irgendwie kein Sinn für much :')