Betrachte die Hilfsfunktion \(h(x)=f(x)-x\). Offensichtlich ist \(h\) differenzierbar, also insbesondere stetig.
Wir wollen nun zwei mal den Zwischenwertsatz auf \(h\) anwenden, um \(x_1\) und \(x_2\) zu erhalten.
Es gilt \(h(x)\rightarrow \infty\) für \(x\rightarrow a\) bzw. \(x\rightarrow b\). Insbesondere gibt es somit \(x_a\) nah genug an \(a\) und \(x_b\) nah genug an \(b\), sodass \(h(x_a)>0\) und \(h(x_b)>0\). Allerdings gilt \(h(0)=f(0)<0\), somit gibt es nach dem Zwischenwertsatz \(a<x_a<x_1<0\) und \(0<x_2<x_b<b\), sodass \(h(x_a)=h(x_b)=0\), d.h. \(f(x_1)=x_1\) und \(f(x_2)=x_2\).
Bleibt zu zeigen, dass es \(\xi\in(x_1,x_2)\) mit \(f'(\xi)=1\) gibt.
Wegen \(h'(x)=f'(x)-1\) kann man dies zeigen, indem man zeigt, dass es ein \(\xi\in(x_1,x_2)\) gibt, sodass \(h'(\xi)=0\), denn das heißt \(f'(\xi)-1=0\). Dies geht mit dem Satz von Rolle. Versuchs mal.
