Verhalten im Unendlichen e-Funktion

Question

Ich soll begründen, wie sich die Funktion f(x)= xe^{1-x} im Unendlichen verhält. Ich habe jetzt einfach große bzw. kleine Zahlen eingesetzt , um zu einem Ergebnis zu kommen...

Jetzt soll ich es aber begründen, indem ich die Funktion als Bruch schreibe und dann damit begründe... Ich weiß nicht, wie ich die Funktion als Bruch schreiben kann...

Answer 1

x * e^{1 - x} = x * e / e^x

Für x --> ∞ hast du also ∞ * e / e^∞ Das ist eigentlich nicht definiert. Aber man darf wissen das die Potenzfunktion schneller gegen unendlich geht als jede Potenzfunktion. Daher hat man hier als Grenzwert 0.

Kannst du das mal für x --> - ∞ probieren?

Ich würde hier die Funktion nicht mal umschreiben.

Answer 2

aⁿ = 1 / a^-n

f(x) = x • 1 / (e^x-1)  = x / (e^x-1)  →   "[ ∞/∞ ]"   für x →  ∞

Der e-Term steigt aber viel schneller an als das Polynom x, der Grenzwert ist daher = 0

Wenn du die Regeln von Hospital kennst, kann man es genauer begründen.

Gruß Wolfgang