Basiswechsel und Matrixdarstellung

Question

V1=V2=ℝ³ Die lineare Abbildung ist wie folgt definiert(V1->V2)

φ((3,2,3))=(2,3,6) 

φ((-1,1,3))=(0,3,4) 

φ((1,0,1))=(-4,3,8) 

Die Vektoren (3,2,3),(-1,1,3) und (1,0,1) bilden dabei eine Basis B des Vektorraums ℝ³

Die Matrix Darstellung von φ soll rechnersich bestimmen werde, für den Fall, dass für V1 und V2 die Basis B zugrunde gelegt wird.

^{Gehe ich richtig vor?}

^{(2,3,6)= 1*(3,2,3)+1*(-1,1,3)+0*(1,0,1)}

^(0,3,4)= 1*(3,2,3)+1*(-1,1,3)-2*(1,0,1)

(-4,3,8)= 0*(3,2,3)+3*(-1,1,3)-1*(1,0,1)

Die Koeffizienten schreibe ich jetzt spaltenweise in eine Matrix: Erste Spalte(1,-1,1) Zweite Spalte(1,1,-2)..........

Ist dieses Vorgehen richtig

Die zweite Aufgabe lautet, welche Matrix Darstellung φ habe, wenn V1 die Standard Basis habe. Wie muss ich hier vorgehen?

Dank im Voraus

Answer 1

wenn man die Zeilenvektoren unter φ in eine Matrix A und die Bilder (rechts) in eine Matrix B schreibt, dann muss gelten:

A • X = B     ⇔  A^-1 • A • X = A^-1 • B  ⇔  X = A^-1 • B    

Schreibweise:  |  trennt Matrixzeilen 

A =    [ 3, 2, 3  |  -1, 1, 3  |  1, 0, 1 ] 

B =    [ 2, 3, 6  |   0, 3, 4  | -4, 3, 8 ] 

→

A^-1 =  [ 1/8, - 1/4, 3/8  |   1/2, 0, - 3/2  |  - 1/8, 1/4, 5/8 ] 

→

X =    [ - 5/4, 3/4, 11/4  |   7, -3, -9  |  - 11/4, 9/4, 21/4 ] 

Gruß Wolfgang

Comments

Der Retter in Not -> Wolfgang

Danke