Induktionsaufgabe (Mit n Fakultät enthalten):

Question

Hi,

ich soll zeigen, dass ∑ⁿ_k=1 k * k! = (n+1)! - 1.

IA: Sei n = 1. Es folgt, 1 = 1 (Habe ich auf dem Blatt ausführlicher).
IV: Gelte die Behauptung für ein beliebiges aber festes n Element der natürlichen Zahlen.
IB: Die Aussage A(k+1) ist wahr.

IS:
∑ⁿ⁺¹_k=1 k * k! = ((n+1)+1)! - 1  <=> ∑ⁿ_k=1 (k * k!) + ((n+1)*(n+1)!) = ((n+2)! - 1
Ab hier habe ich dann umgeschrieben:
(n+1)! + (n+1)(1*..*n*(n+1)) - 1 = (n+2)! - 1
<=> (n+1)! + (n+1)! + (n² + n)! - 1 = (n+2)! - 1 Ab hier weis ich nicht mehr weiter.
In diesem Schritt habe ich (n+1)(1*..*n*(n+1)) miteinander ausmultipliziert, ist das legitim?

LG

Comments

Hat sich fast alles erledigt. Ich verstehe nur folgendes nicht:

(n+1)! - 1 + (n+1)(n+1)! = (n + 1 + 1)(n+1)! -1

Hier wurde (n+1)! ausgeklammert. Wichtig für mich wäre die Umformung von (n+1)! - 1 + (n+1)(n+1)! auf (n + 1 + 1)(n+1)! -1, damit ich sehe, warum das ausklammern zu (n + 1 + 1) legitim ist.

LG

Answer 1

(n+1)! - 1 + (n+1) • (n+1)!      nur hier wird ausgeklammert,  die -1 bleibt als Summand erhalten

(n+1)! • [ 1 + (n+1) ] - 1  =  (n+1)! • (n+2) - 1 = (n+2)! -1

Gruß Wolfgang