0 Daumen
265 Aufrufe

Aufgabe:

Ich soll eine vollständige Induktion durchführen, jedoch bekomme ich es nicht ganz hin.

\( \sum \limits_{i=1}^{n} i * 2^{i}=(\mathrm{n}-1) * 2^{n+1}+2 \)

\( \sum \limits_{i=1}^{n+1} i * 2^{i} = ((\mathrm{n}+1)-1) * 2^{((n+1)+1)}+2 \)

\( \sum \limits_{i=1}^{n} i * 2^{i}+(\mathrm{n}+1)^{*} 2^{(n+1)} \)

\( =(n-1) * 2^{n+1}+2+(n+1)^{*} 2^{(n+1)} \)

Ab hier kann ich nicht ausklammern bzw. hab da meine Schwierigkeiten.

Avatar von

1 Antwort

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Behauptung:\(\quad\sum\limits_{i=1}^ni\cdot2^i=(n-1)\cdot2^{n+1}+2\)

Verankerung bei \(n=1\):$$\sum\limits_{i=1}^ni\cdot2^i=1\cdot2^1=2=(1-1)\cdot2^{1+1}+2=(n-1)\cdot2^{n+1}+2\quad\checkmark$$

Induktionsschritt \(n\to n+1\):

$$\sum\limits_{i=1}^{n+1}i\cdot2^i=\left(\sum\limits_{i=1}^ni\cdot2^i\right)+(n+1)\cdot 2^{n+1}\stackrel{\text{Ind.Vor.}}{=}\left((n-1)\cdot2^{n+1}+2\right)+(n+1)\cdot2^{n+1}$$$$\quad=(n-1)\cdot2^{n+1}+(n+1)\cdot2^{n+1}+2=[(n-1)+(n+1)]\cdot2^{n+1}+2$$$$\quad=2n\cdot2^{n+1}+2=n\cdot2^{n+2}-2=\underbrace{(\,(n+1)-1\,)}_{=n}\cdot2^{(n+1)+1}+2\quad\checkmark$$

Avatar von 152 k 🚀

was bedeuten diese eckigen Klammern?

Die habe ich nur zur besseren Unterscheidung verwendet. Die Bedeutung ist dieselbe wie bei runden Klammern.

Alles klar, danke dir! Habe auch meine Fehler gefunden und diese ausbessern können.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community