Tipps zum richtigen Substituieren?

Question

Hat jemand eventuell Tipps wie man richtig substituiert? 
Beim Substituieren wähle ich anscheinend die falschen Terme aus wie z.B. bei
∫3x²√x³ +1 von -1 bis 1 habe ich  √x³ +1 substituiert statt x³ +1. Wie merke ich am ende überhaupt, dass mein Ergebnis dann falsch sein könnte? 

Answer 1

Du kannst sowohl  z= x^3+1 als auch z= √(x^3+1) substituieren.

Du mußt sehen , das sich bei der Ableitung des anderen Faktors ein Ausdruck entsteht ,damit

der sich mit dem x^2 des 1. Faktors sich kürzt . Das ist in diesem Fall bei beiden Substitutionen gegeben.

-Wie merke ich am Ende überhaupt, dass mein Ergebnis dann falsch sein könnte? 

Du leitest das Ergebnis 1 mal ab, dann siehst Du ob es identisch mit der Aufgabe ist.

- Hat jemand eventuell Tipps wie man richtig substituiert? 

Das ist Ende  viel Übung.

Answer 2

∫ 3·x^2·√(x^3 + 1) dx

Subst z = x^3 + 1

1 dz = 3·x^2 dx

dx = dz / 3·x^2

∫ 3·x^2·√(z) dz / 3·x^2

∫ √(z) dz

∫ z^{1/2} dz

2/3·z^{3/2} + C

Resubst

2/3·(x^3 + 1)^{3/2} + C

Comments

Danach habe ich nicht gefragt.

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Kommst du überhaupt auf ein ordentliches Ergebnis wenn du √(x^3 + 1) substituierst ? Ich vermute das du dann in der Rechnung eventuell mehrere Fehler drin hast.

Eine Möglichkeit ist die gefundene Stammfunktion abzuleiten. Wenn dort nicht die Anfangsfunktion heraus kommt hat man einen Fehler gemacht.

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∫ 3·x²·√(x³ + 1) dx 

Subst z = √(x³ + 1)

1 dz = 3·x^2/(2·√(x^3 + 1)) dx

dx = dz * (2·√(x^3 + 1)) / 3·x^2

∫ 3·x²·z dz * (2·√(x^3 + 1)) / 3·x^2

∫ z dz * (2·√(x^3 + 1))

∫ 2·z^2 dz

2/3·z^3 + C

Resubst

2/3·(x³ + 1)^{3/2} + C

Man kommt hier also aufs gleiche Ergebnis.

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Hattest recht, hatte einen Rechenfehler.Danke :)

Answer 3

Wenn du die Regeln der Substitution beachtest, d.h. "technisch" richtig substituierst, ist es egal, welchen Term du substituierst, da es das Ergebnis nicht ändert. Das ist ja gerade der Witz bei der Substitution.

Insofern kannst du, wenn du nicht siehst, was sich als Substitution anbietet, einfach rumprobieren. Wenn du unklug substituierst, wirst du vermutlich an einem Punkt ankommen, an dem du in der Rechnung nicht mehr weiter kommst. Dann kannst du eine andere Substitution probieren.

Generell hilft vor allem Übung dabei, ein Auge für geschickte Substitutionen zu kriegen.