Bestimmen von Kern, Bild, Dim(Kern)

Question

ich scheitere gerade kläglich an folgender Aufgabe.

Die Begriffe Kern und Dimension kenne ich eigentlich, ich weiß zumindest in der Theorie etwas damit anzufangen. Beim Lösen dieser Aufgabe komme ich allerdings nicht weiter..

Vielleicht kann mir ja jemand helfen.

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Upps.. Falscher Thread

Answer 1

Bring zunächst die Matrix auf Zeilenstufenform. Löse das Gleichungssystem Ax=0. Die Lösungsmenge ist der Kern. Die linear unabhängigen Spaltenvektoren lassen sich aus der Zeilenstufenform ablesen. Sie bilden eine Basis des Bildes.

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Ich habe mich mal probiert. Ist das richtig so?

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Ja, das passt. Das Bild sind jetzt die linear unabhängigen Spaltenvektoren der Matrix. Das kannst du direkt aus der Zeilenstufenform ablesen. Du schaust, wo ein Zeilsprung stattfindet und nimmst die dazu passenden Vektoren der Ausgangsmatrix.

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Du hast einen Sprung bei der ersten und dritten Spalte.

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Super! Das werde ich mal ausrechnen. Vielleicht poste ich es danach wieder, wenn ich mir unsicher bin.

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Du brauchst nicht rechnen. Einfach ablesen.

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Also sind, wie wir hier sehen, entweder Spaltenvektor 1 und 3 unabhängig, oder Spaltenvektor 2 und 3, richtig?

(oder natürlich auch jede andere Form/Skalierung der 1. oder 2. Spalte, richtig?)

Spaltenvektor 1 und 2 sind offenbar linear abhängig!

Somit könnte das Bild sein: Bild(A) = { (0,0,1), (0,1,1) }  korrekt?

Und wie lese ich jetzt die Dimension ab?

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Nein. Du brauchst die Entsprechenden Vektoren aus der Startmatrix. Also Bild(A)= {(1,2,3), (-2,-4,1)}

Was ist jetzt die Basis?  ein Raum der von zwei linear unabhängigen Vektoren aufgespannt wird !

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Ahh, alles klar! Somit ist die Dimension 2, oder?

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Passt. Injektion ist das Teil, wenn der Kern nur aus dem Nullvektor besteht. Da gibt's einen Satz.

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Gut. Die Begriffe Injektivität etc. habe ich alle verstanden, aber in diesem Zusammenhang kann ich damit nichts anfangen. Injektiv bedeutet ja nur, dass jedes Element der Zielmenge höchstens 1 mal getroffen wird. Ich weiß hier allerdings weder was die Zielmenge, noch die Definitionsmenge ist..

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Das fehlt mir auch in der Aufgabe. Ich glaube,man kann vom R3 ausgehen.

Das mit der Injektivität hast du richtig verstanden. Du kannst das aber einfach über den Kern ermitteln

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Alles klar, dann werde ich mal versuchen das zu lösen!

Danke für die vielen Antworten!