Wurzeln mehrmals ableiten

Question

Hallo :-)

ich bräuchte etwas Hilfe beim Ableiten, da ich mich damit etwas schwer tu.

Ich habe z.B. die Funktion f(x)=√(3x²+5)

Die erste Ableitung würde ja lauten: f'(x)=1/(2*√(3x²+5))*6x

Aber wie kann ich daraus jetzt die 2. und 3. Ableitung herleiten? Bzw. wie würde das funktionieren?

Danke schon mal für die Hilfe! :-)

Answer 1

$$f(x)=\sqrt{3x^2+5} \\ f'(x)=\frac{6x}{2\sqrt{3x^2+5}}=\frac{3x}{\sqrt{3x^2+5}} \\ f'''(x)=\frac{(3x)'\sqrt{3x^2+5}-3x(\sqrt{3x^2+5})'}{(\sqrt{3x^2+5})^2}=\frac{3\sqrt{3x^2+5}-3x \frac{6x}{2\sqrt{3x^2+5}}}{3x^2+5}=\frac{6(3x^2+5)- 18x^2}{2(3x^2+5)\sqrt{3x^2+5}}=\frac{18x^2+30- 18x^2}{2(3x^2+5)\sqrt{3x^2+5}}=\frac{30}{2(3x^2+5)\sqrt{3x^2+5}}=\frac{15}{(3x^2+5)^{\frac{3}{2}}}$$ 
Kannst du weiter machen um die 3. Ableitung zu berechnen?

Comments

Weiß nicht genau, ob ich alles richtig abgeleitet hab, aber man müsste ja wieder die Quotientenregel anwenden.

Wäre das Ergebnis: (15*(3*√(x)/2))/(3x²+5)^7/2 ?

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Ich sehe grad das mein Ergebnis nicht stimmt, hab Flüchtigkeitsfehler eingebaut, dennoch komme ich nicht weiter ..

Habe es bis jetzt so:

(-15*3/2x^1/2*18x³+30x)/(3x²+5)^7/2

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Um die Ableitung von $$\frac{15}{(3x^2+5)^{\frac{3}{2}}}=15(3x^2+5)^{-\frac{3}{2}}$$ zu berechnen, kann man folgendes machen:  $$\left(15(3x^2+5)^{-\frac{3}{2}}\right)'=15\left(-\frac{3}{2}\right)(3x^2+5)^{-\frac{5}{2}}(3x^2+5)'=-\frac{45}{2}(3x^2+5)^{-\frac{5}{2}}(6x) \\ =-45\cdot 3x(3x^2+5)^{-\frac{5}{2}}=-\frac{135x}{(3x^2+5)^{\frac{5}{2}}}$$