Gegeben ist die Funktion f durch f(x)=(4x+6)e^{-0,5x}.

Question

Die Tangente im Punkt B (0/f(0)) schneidet die x-Achse im Punkt F, die Normale (Senkrechte zur Tangente) in B schneidet die x-Achse im Punkt G.

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks BFG.

Answer 1

f(x) = (4x+6) e^-0,5x  , f '(x) =  e^-0,5x ·(1 - 2·x)

B(0|6) 

Tangente:  y_T = f '(0) • (x -0) + 6 = 1 • x + 6  →  y_T = x + 6  →  F( -6 | 0 )

Normale:   y_N = -1/f '(0) • (x -0) + 6 = -x + 6   →  G( 6 | 0 )

ΔBFG  hat die Grundlinienlänge 12 und die Höhe 6

→  Fläche_Δ = 1/2 • 12 • 6 = 36

Gruß Wolfgang

Comments

Ich komme mit der weiteren Aufgabenstellung leider auch nicht ganz klar: Berechnen Sie den Flächeninhalt der Fläche, welche von f und den Koordinatenachsen im 2.Quadranten begrenzt wird.

Hierzu habe ich das Integral von -1,5 bis 0 berechnet, Mein Ergebnis lautet 5,87 FE.

LG

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@Fragesteller : dein Ergebnis ist richtig.

@Wolfgang
Die Berechnung der Normalen war nicht unbedingt notwendig da
die Steigung der Tangenten = 1 = 45 ° ist  und somit die Steigung
der Normalen -45 ° ist. Der y-Achsenabschnitt ist auch gleich.
Die Fläche links und rechts ist somit gleich.
mfg Georg

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Hallo Georg,

ich neige dazu, Antworten so zu verfassen, dass man die Vorgehensweise  allgemein anwenden kann.

Was bringt es dem Fragesteller, wenn die Steigung der Tangente in der nächsten Aufgabe ≠ 1 ist und er nur diesen Sonderfall kennt ?

Gruß Wolfgang

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Erst mal vielen Dank euch beiden, dass ihr mir geholfen habt!

@Wolfgang: Ich find es echt sehr gut, dass Du alles ausführlich verfasst hast. Ich habe allerdings den Rechenweg ganz anders, ich habe m₁ * m₂ = -1 gerechnet. Ich weiß, dass m₁=1 ist, also muss m₂ -1 sein. Soweit ich es verstanden habe, hast Du -1 durch den ganzen Term der Tangentengleichung dividiert, oder?

Lg

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m₁ • m₂ =  -1  ist natürlich richtig  ⇔ m_T • m_N = -1  ⇔   f '(x_B)  • (-1) / f '(x_B) = -1

aber um im allgemeinen Fall die Tangenten- bzw. Normalensteigung zu erhalten, musst du wissen, dass erstere gleich f '(x_B) und damit letzere gleich -1/ f '(x_B) ist   (x_B = Berührstelle)

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Vorbemerkung : unglücklichsterweise ging die erste Fassung meiner
Antwort verloren. Deshalb kommt dieser Kommentar ca 1/2 später
und bringt die zeitliche Rehenfolge der Kommentare etwas durcheinander.

hallo jd1966,
hallo Wolfgang,

ich möchte, obwohl die letzte Frage an Wolfgang gerichtet ist, auch meine
Meinung dazu sagen.

Wie du angeführt hast ergibt sich die Steigung für die Normale schnell zu
m2 = -1. Da der y-Achsenabschnit 6 ist ergibt sich die Funktion der
Normalen zu

n ( x ) = -1 * x + 6

Anstelle der wohl bekannteren Schreibweise
f ( x ) = m * x + b
kann man auch die sogenannte " Punkt-Steigungsform " für lineare Gleichungen
verwenden, wie Wolfgang sie angeführt hat.

Ich verwende diese Form nicht. Die übliche Form ist mir lieber.
1.Grad : a * x + b
2.Grad : ax^2 + b*x + c
3.Grad : a*x^3 + b*x^2 + c*x + d
...
Diese Schreibweisen sind leicht zu merken und werden alle nach demselben
Muster aufgestellt.

Die Schreibweise

Normale:   yN = -1/f '(0) • (x -0) + 6

kann mitunter zu Verwirrung führen, wie auch bei dir

Soweit ich es verstanden habe, hast Du -1 durch den
ganzen Term der Tangentengleichung dividiert, oder?

Nix für ungut. mfg Georg

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@ Georg:

wenn du "diese  Schreibweise" nicht verwendest, wäre es interessant zu erfahren, wie du zum Beispiel bei gegebener Funktionsgleichung die Gleichung der Tangente an den Graph berechnest, die durch einen gegebenen Punkt außerhalb des Graphen verläuft.

Auch bei Extremwertaufgaben ist die Punkt-Steigungsform der Geraden extrem nützlich.

> kann mitunter zu Verwirrung führen, wie auch bei dir 

nur dann, wenn man den Umgang mit der Punkt-Steigungsformel nicht kennt, weil man ihn immer vermeidet:

Die Gerade durch den Punkt P( x_p | y_p ) mit der Steigung m hat die Gleichung

y = m • ( x - x_p ) + y_p            [ Punkt-Steigungs-Formel ]   

was soll verwirrend daran sein, für P den Punkt (0|6) und für m die Tangentensteigung m_T                                   f '(0) einzusetzen ?

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Hallo Wolfgang,

zu deiner Information. Ich habe im Realschulunterricht damals nichts
von Punkt-Steigungsform, pq-Formel, abc-Formel usw gehört.
ich bin Autodidakt der sich in den letzten Jahren etwas Mathematik angeeignet
hat. ( siehe auch mein Profil ).

Da die Frage : Punkt außerhalb des Graphen - Tangente zum Graphen relativ
häufig gestellt wird habe ich eine Musterlösung vorbereitet.

mfg Georg

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Hallo Georg,
Der Punkt P₂ (x|y) ist aber nicht bekannt.Wie soll es dann weitergehen?
Mit der Punkt-Steigungsformel erhältst du eine Bestimmungsgleichung für die nicht bekannte Berührstelle x_B:   Man setzt P₁ und den unbekannten Punkt P₂ = B( x_B | f(x_B) ) in die PSF ein:                                                                      f(x_B) = f '(x_B) • ( x_B - x₁) + y₁   →  x_B  

Wie gesagt: die PSF ist extrem nützlich.
Gruß Wolfgang

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Hallo Wolfgang,
meine abschließende Formel, die ich mir sehr gut über die Skizze
klarmacjhen kann, enthält die Variablen
f ( x ), f ´( x ) , x1, y1 und x

Deine Formel besteht aus

f ( xb ), f ´( xb ) , x1, y1 und xb

( wobei x bei mir xb bei dir entspricht ).

Es gibt keinen Unterschied.

mfg Georg

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Ja, wenn du alles so einsetzt, hast du für diesen Fall die PSF mit den entsprechenden Einsetzungen hergeleitet.

Die PSF .ergibt sich halt einfach aus m = (y-y₁) / (x-x₁) (kann man sich auch gut merken).

Nur mit Kenntnis der PSF schreibt man das in einer Zeile ohne jedes Bild hin.

Du wirst mir doch wohl zustimmen, das das etwas einfacher - und absolut nicht verwirrend -  ist.

Ich sagte, die PSF ist extrem nützlich, nicht unverzichtbar.

Zurück zur Aufgabe: Mit der Geradengleichung y = mx +b  musst du  (im Allgemeinen, nicht bei der Symmetrie in diesem Sonderfall) bei gegebenem  m ,P  immer ein LGS mit zwei Unbekannten lösen. die PSF ergibt eine Gleichung, die man einfach nur zusammenfassen muss.

Wünsche Dir noch einen schönen Abend

("nix für ungut" ist doch wohl bei uns beiden selbstverständlich :-))

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kann man sich auch gut merken

Damit hast den Begriff der hier wichtig ist auch schon verwendet.

Ich bin hier im Forum aus Gründen des Zeitvertreibs und um mich geistig
fit zu halten.

Viele für mich neue Dinge haben sich schon durch tägliche Praxis eingeprägt.
Den Prozeß " was sich einprägt und was nicht " beeinfluße ich nicht.

Ich könnte jetzt eine lange Liste anführen was sich alles schon eingeprägt hat.

Nicht eingeprägt hat z.B. ( tan ) ´ , Partialbruchzerlegung, die Punkt-Steigungsform.

Ist aber auch nicht schlimm. Kann ja noch kommen.

mfg Georg

Answer 2

Du kannst auch nur eine seite des dreiecks betrachten und dann mal 2 nehmen,weil es symmetrisch ist. Noch fragen?