Berechnen vom Flächeninhalten - Integralrechnung

Question

Berechnen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die der Graph der Funktion f über dem angegebenen Intervall mt der x-Achse einschließt. - Integralrechnung.

c) f(x)= 2x² - 2x       Intervall= (-1 ; 3)

Answer 1

Berechnen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die der Graph der Funktion f
über dem angegebenen Intervall mt der x-Achse einschließt. -
Integralrechnung.

c) f(x)= 2x² - 2x       Intervall= (-1 ; 3)

Nullstellen
f ( x ) = 2 * x^2 - 2 * x = 0
x^2 - x = 0
x * ( x -1 ) = 0
x = 0
und
x = 1

Funktion unterhalb der der x-Achse
f ( x ) < 0
x^2 - x < 0
x * ( x -1 ) < 0

1.Fall
x > 0 und x - 1 < 0
x > 0 und x < 1
0 < x < 1

2.Fall
x < 0 und x - 1 > 0
x < 0 und x > 1
keine Schnittmenge

x < 0 : Funktionswert ist postiv
0 < x < 1 : Funktionswert ist negativ
x > 1 : Funktionswert ist postiv

Stammfunktion
f ( x ) = 2 * x^2 - 2 * x
F ( x ) = 2 * x^3 / 3 - 2 * x^2 / 2
F ( x ) = 2 /3 * x^3 - x^2

[ Stammfunktion ] zwischen -1 und 0 berechnen
[ Stammfunktion ] zwischen 0 und 1 berechnen
[ Stammfunktion ] zwischen 1 und 3 berechnen

Alle Werte als Betrag setzen und addieren.

~plot~ 2 * x² - 2 * x ~plot~

Answer 2

f(x) = 2x^2 - 2x = 2x(x - 1) = 0 -->x = 0 oder x = 1

∫ (-1 bis 0) (2x^2 - 2x) dx = 5/3

∫ (0 bis 1) (2x^2 - 2x) dx = - 1/3

∫ (1 bis 3) (2x^2 - 2x) dx = 28/3

5/3 + 1/3 + 28/3 = 34/3